Mostrar que $1\otimes (1,1,\ldots)\neq 0$$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \prod_{n=2}^{\infty} (\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})$.

Question

Mostrar que $1\otimes (1,1,\ldots)\neq 0$$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \prod_{n=2}^{\infty} (\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})$.

Aquí es lo que he intentado:

Si $1\otimes (1,1,\ldots)= 0$,$1\otimes (1,1,\ldots)= (-1)\otimes (1,1,\ldots)=1\otimes (-1,-1,\ldots)$, pero $1\neq -1$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ todos los $n$.

No estoy seguro de que esto es válido...

Answer 1

No, tu argumento no es correcto: si $1\otimes x=1\otimes y$, entonces no necesariamente $x=y$.

Me gustaría hacerlo de la siguiente manera: si $M$ $\mathbb Z$- módulo, a continuación, $\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}M\simeq S^{-1}M$ donde $S=\mathbb Z\setminus\{0\}$. El isomorfismo es dado por $\dfrac ab\otimes x\mapsto\dfrac{ax}{b}$. De esta manera $1\otimes(1,1,\dots)$ corresponde a la fracción $\dfrac{(1,1,\dots)}{1}$, y si este es igual a $\dfrac01$, entonces hay $m\in\mathbb Z$, $m\ne0$ tal que $m(1,1,\dots)=(0,0,\dots)$, $m=0$ $\mathbb Z/n\mathbb Z$ todos los $n\ge2$. Esto demuestra que $m=0$, una contradicción.