Cómo mostrar $(3^ {2n} - 1) \equiv 0 \mod 8$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$3^{2n}-1 \equiv 0 \mod 8$$ es cierto?

¿Qué tipo de método debería abordar este problema? Yo estaba pensando en la inducción, pero pero el capítulo no se trata de inducción, por lo que necesitan un poco de ayuda...

Answer 1

$$3^{2n}-1=9^n-1=(8+1)^n-1$$

Usando el teorema del binomio: $$=\sum_{r=0}^n\dbinom nr8^r-1$$

Cancelación: $$=\sum_{r=1}^n\dbinom nr8^r$$

Factor: $$=8\sum_{r=0}^{n-1}\dbinom n{r+1}8^r$$

QED.

Answer 2

Observe $3^{2n} - 1 = (3^n - 1)(3^n + 1)$.

Desde $3^n$ es extraño, por tanto su predecesor y sucesor incluso; en particular, $(3^n - 1)$ $(3^n + 1)$ son números pares consecutivos. Además, tenga en cuenta que entre cualquier par de números pares consecutivos, uno de ellos es un múltiplo de a $4$, de donde el producto es múltiplo de $8$ como se desee. QED.

Answer 3

Supongo que te refieres a mostrar $$3^{2n} - 1 \equiv 0 \mod8$$

Una prueba (sin inducción):

$$3^{2n} - 1\equiv 9^n - 1 \equiv 1^n - 1 \equiv 0 \mod 8$$

Una prueba con la inducción:

El resultado es trivial para $n = 1$. Suponga que el resultado vale para $n=k \in \mathbb N$ ( $3^{2k} - 1 = 8m,\, m\in \mathbb N$ ). A continuación, para $n = k+1$ tenemos:

$$3^{2k + 2} - 1 = 9\times3^{2k} - 1 = 9(8m+1) - 1 = 72m +8 = 8(9m + 1)$$

Y por lo que el resultado es cierto para todos los naturales de $n \geq 1$.

Answer 4

Sugerencia Uno de los dos pares consecutivos número de dividir por 4, y otro dividir por 2.

Answer 5

Deje$$3^{2n}-1=8k\implies 3^{2n}=8k+1\implies n=\frac{\log_3(8k+1)}{2}\tag{1.}$$ Deje $8k+1=3^a$ donde $a$ es un número entero.Deje que el entero más pequeño $b$ tal que $8(k+c)+1=3^a\times 3^b\implies 3^a+8c=3^a\times 3^b\implies c=\frac{3^a(3^b-1)}{8}\tag{2.}$ Ahora a poner los valores enteros a partir de $0$ $b$ en eq. (2) .En la puesta $b=2$ tenemos varios de $8$
Por lo que se ha demostrado que si $$8k+1=3^a $$ a continuación, la adición de un número entero a $k$ sobre la L. H. S. puede hacer que el poder de la $3$ $3^a\times 3^2$(No menor)
Así que a partir de la eq.(1) para que n sea un entero $k$ debe ser tal que $8k+1$ se convierte en el poder de la $3$. Tenemos uno de esos $k=1$ es decir $8k+1=9$ el siguiente número que tenemos es $9\times 3^2$ ,próxima $9 \times 3^2 \times 3^2$ y así sucesivamente.....(no menor)
Ahora la expresión para $$n=\frac{\log_33^{2t}}{2}\implies n=t$$ for $t\ge 1 \,,t\in \mathbb{N}$