Propiedad similar a la conexión

Question

Recordemos que $X$ está conectado si $X$ no puede ser escrito como la unión de vacío abierto conjuntos con intersección vacía.

Considere las siguientes propiedades similares:

$X$ es buena si $X$ no puede ser escrito como la unión de conectado abrir conjuntos con desconectada de la intersección.

En otras palabras, $X$ es bueno si, para abrir todos los conjuntos conectados $A$$B$$A\cup B=X$, $A\cap B$ está conectado.

$\Bbb R^n$ es bueno para todos $n$. $S^n$ y $\rm\Bbb RP^n$ son buenas para todas las $n\ge2$. De hecho, si $H_1(X;G)=0$ algunos $G$, $X$ es bueno. Esto viene de la parte de la reducción de Mayer–Vietoris secuencia de alrededor de $\widetilde H_0(A\cap B)$.

Son estos los únicos espacios? O hay espacios con $H_1(X;G)\ne0$ todos los $G$? No tengo idea de cómo acercarse a este..

Answer 1

$\require{AMScd}$Prefiero pensar acerca de la negación de su condición de primer. Así que llame a un espacio de malo , si existe una descomposición $A \cup B$ en relación abrir conjuntos con desconectada de la intersección. Llamar a un espacio semi-malo , si existe una descomposición en bloques abiertos $A \cup B$ de manera tal que la inducida por el mapa en la relación de homología $\tilde H_0(A \cap B) \to \tilde H_0(A) \oplus \tilde H_0(B)$ no es inyectiva.

Como dices en tu post, semi-bad implica que $H_1(X;G)$ es distinto de cero para todos los $G$.

Teorema: Si $H^1(X;\Bbb Z) \neq 0$, e $X$ es un CW complejo, $X$ es semi-malo.

Esto es porque no son canónicos bijections entre el $$H^1(X;\Bbb Z) \cong \text{Hom}(H_1(X;\Bbb Z),\Bbb Z) \cong [X,S^1].$$ (La primera isomorfismo es el universal coeficiente de teorema, el segundo es un apéndice en el Hatcher capítulo 1 + el hecho de que $H_1$ es el abelanization de $\pi_1$. El último bijection envía cada homomorphism a un mapa que induce a que homomorphism.)

Así que nuestra suposición implica que hay un homotopically trivial mapa de $p: X \to S^1$. Descomponer $S^1$ a $U \cup V$ lo obvio leve engrosamiento de los hemisferios norte y sur. A continuación, $p^{-1}(U) \cup p^{-1}(V)$ es un semi-mala descomposición de $X$. Para ver esto, observe primero que Mayer-Vietoris es natural en virtud de los mapas de triples $(X,U,V)$, con lo que obtenemos un diagrama de

$$\begin{CD} H_1(X;\Bbb Z) @>>> \tilde H_0(p^{-1}(U) \cap p^{-1}(V);\Bbb Z) @>>> \tilde H_0(p^{-1}(U)) \oplus H_0(p^{-1}(V);\Bbb Z)\\ @Vp_*VV @VVV @VVV \\ \Bbb Z =H_1(S^1;\Bbb Z) @>\cong>> \tilde H_0(U \cap V;\Bbb Z) @>>> H_0(U;\Bbb Z) \oplus H_0(V;\Bbb Z) = 0\\ \end{CD}$$

Un diagrama de chase, junto con el hecho de que $p_*$ es distinto de cero fácilmente muestra a partir de aquí que este es un semi-mala descomposición de $X$.

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Ahora debemos relacionar este a su condición: que $H_1(X;G) \neq 0$ todos los $G$. Si $H_1(X;\Bbb Z)$ es finitely generado, esto implica que $H^1(X;\Bbb Z)$ es distinto de cero (invocar la clasificación teorema de finitely generado abelian grupos y su asunción por $G = \Bbb Q$). No he pensado acerca de esto en más de generalidad. Como una señal de peligro, pensar acerca de la universal coeficiente de teorema, 3F.12 en Hatcher, y Whitehead del problema, conocido por ser independiente de ZFC.

Uno también podría estar interesado en la relación de la noción de semi-maldad a la noción de maldad. No he hecho ningún intento de hacerlo.