La crítica de este subgrupo de la prueba?

Question

Este es un ejercicio de una Dover libro sobre álgebra abstracta. Tenía la esperanza de que podría conseguir algunos comentarios acerca de esta prueba, como yo todavía soy bastante nuevo en este nivel de la prueba de escritura. Gracias! Aquí está el ejercicio:

Deje $G$ ser un grupo Abelian cuya operación es la multiplicación, vamos a $H$ ser un subgrupo de $G$, y deje $K = \{x \in G:$ para algún entero positivo $ n$, $x^n \in H \}$. Demostrar que $K$ es un subgrupo de $G$.

Mi prueba:

Para mostrar que $K$ es un subgrupo de $G$, es suficiente para mostrar que $K$ es un subconjunto de a $G$ y $K$ es cerrado bajo la multiplicación y la recíproca. La primera condición es extremadamente satisfecho, porque $K$ se compone solamente de los elementos de $G$. Vamos a demostrar que $K$ es cerrado bajo la multiplicación.

Deje $x,y \in K$. Sabemos $x,y \in G$ $x^n,y^m \in H$ para algunos enteros positivos $m,n$. Además, $x^m,y^n \in H$. Desde $x,y \in G$ $G$ es cerrado bajo la multiplicación, $x \cdot y \in G$. Del mismo modo, $x^n \cdot x^m \cdot y^n \cdot y^m \in H$. Ahora $(x \cdot y)^{n+m} = \underbrace{(x \cdot y) \cdot (x \cdot y) \cdots (x\cdot y)}_\text{n+m}$. Desde $G$ es Abelian, podemos arreglar esto como $\underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n+m} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{n+m} \\ = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{n} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdots x}_\text{m} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{n} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdots y}_\text{m} = x^n \cdot x^m \cdot y^n \cdot y^m \in H$. Por lo tanto, desde $x \cdot y \in G$, $n+m$ es un entero positivo, y $(x \cdot y)^{n+m} \in H$, $x \cdot y \in K$. Por lo tanto, $K$ es cerrado con respecto a la multiplicación.

Ahora vamos a comprobar que $K$ es cerrado con respecto a la recíproca. Deje $x \in K$. Por lo tanto, $x \in G$ $x^n \in H$ para algún entero positivo $n$. Desde $x \in G$ $G$ está cerrado a la recíproca, $\frac{1}{x} \in G$. Del mismo modo, $\frac{1}{x^n} \in H$. $(\frac{1}{x})^n = \frac{1}{x^n} \in H$. Por lo tanto, $\frac{1}{x} \in K$, e $K$ es cerrado con respecto a la recíproca. Por lo tanto, $K$ es un subgrupo de $G$.

Answer 1

Usted escribe: "Dejad $x,y∈K$. Sabemos $x,y∈G$ $x^n,y^m∈H$ para algunos enteros positivos $m,n$. Además, $x^m,y^n∈H$'.

Esto no es siempre verdad! Considerar el grupo $8\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}$. Tenga en cuenta que si $x = 2$$y = 4$,$4 + 4 \in 8 \mathbb{Z}$$2 + 2 + 2 +2 \in 8 \mathbb{Z}$, pero $2 +2 \not \in 8 \mathbb{Z}$.

En lugar de mirar a $(x\cdot y)^{m+n}$, trate de buscar en $(x \cdot y)^{m \cdot n}$.

Espero que mi sugerencia de ayuda! La mejor de las suertes!

Answer 2

Sólo un ser quisquilloso.

Tercera frase, párrafo tercero: El hecho de que $x^m$ $y^n$ $H$ sólo le da el hecho de que $(x^m \cdot y^n) \in H$. No hay ninguna razón por $x^n \cdot x^m \cdot y^n \cdot y^m$ debe ser en $H$. Pero si $x^m$$y^n$$H$, entonces el poder de estos elementos también están en $H$. Así que trate de $(x \cdot y)^{mn}$.

El hecho de que el inverso de cualquier elemento en $H$ $H$ parece ser probado correctamente.

Answer 3

La prueba para los inversos está bien.

Estás seguro acerca de la afirmación de que x^{m} y^{n} son también en H? Posible que desee comprobar cómo lo sabe.

También, usted no necesita nota que xy es en G; no es relevante para demostrar el cierre de K bajo la multiplicación. Su argumento utilizando m+n descansa en la afirmación de que me dijo que usted debe comprobar en.

Trate de nm en lugar de n+m.

Answer 4

Los comentarios que han señalado un error, pero creo que todo lo demás se ve bien :)

Una cosa sin embargo, aunque es obvio, es importante indicar la razón por la que el elemento de identidad es en $K$. Sin el elemento de identidad, $K$ no es un subgrupo.

Answer 5

No hay ninguna razón $x^m$ o $y^n$ debe ser en $H$. Por lo que necesita para cambiar la prueba de que $xy\in K$.

También puede probar directamente que si $x,y\in K$ $xy^{-1}\in K$ que puede resultar el mismo subgrupo de propiedad en un solo paso.