Ejercicio sencillo de cohomología

Question

Sé que se trata de un ejercicio sencillo, pero desgraciadamente estoy atascado.

Pregunta: Utilice la cohomología de Rham para demostrar que la esfera $S^2$ no es difeomorfo al toro $T$ . Usted puede asumir que $H^1(\mathbb{R}^2) = \{0\}$ .

Respuesta: Para la esfera $S^2$ se puede demostrar que $H^1(S^2) \cong \{0\}$ para el toroide se puede demostrar que $H^1(T) \cong \mathbb{R}^2$ . Ahora no sé cómo proceder, lo que entiendo vagamente es que la cohomología diferente implica que las variedades no pueden ser difeomorfas. ¿Cómo puedo precisar esto? En particular, debo estar perdiendo algo porque no sé cómo hacer uso del hecho dado $H^1(\mathbb{R^2}) \cong \{0\}$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

La cohomología de Rham es functorial en el sentido de que si se tiene un mapa suave $f: M\to N$ entre dos colectores entonces tienes un mapa inducido en el $p$ -grupos de cohomología $$f^*: H^p(M) \to H^p(N)$$ dado por el retroceso que se define en toda forma 1 $\omega$ mediante la siguiente fórmula

$$f^*\omega(X(p)) = \omega(f_*(X(p)))$$

Lema. Dejemos que $M$ y $N$ colectores lisos y $f: M\to N$ un mapa suave, entonces el mapa pullback $f^*$ envía formularios cerrados en $N$ a formas cerradas en $M$ y formas exactas en $N$ a formas exactas en $M$ .

El resto es demostrar las siguientes propiedades (fáciles) del pullback

(1). $(f\circ g)^* = g^* \circ f^*$ (2). $Id^* = Id$

Ahora sólo hay que ver que si $f: M\to N$ es un difeomorfismo entonces $f^*: H^p(M) \to H^p(N)$ es un isomorfismo para cada $p$ . Así que si $S^1$ y $T$ donde es isomorfo su $1$ -Los grupos de cohomología de la quinta también serían isomorfos.

Nota . Puedes dar otra prueba usando la pista demostrando que la cohomología del toro menos un punto es la misma que la figura ocho cohomología, es decir $H^1(S^1\vee S^1)\cong \mathbb{R}^2$ .