Demostrando $A$ no es invertible si $AB=A^2B^2-(AB)^2$ $\det(B)=2$

Question

Deje $A$ $B$ dos $2\times 2$ matrices con el elemento real tal que

$$AB=A^2B^2-(AB)^2 \qquad\text{y}\qquad \det(B)=2.$$ Mostrar que $A=0$.

Mi Intento:

\begin{align} AB=A^2B^2-(AB)^2 &\implies A=A^2B-ABA &&\text{(since %#%#%)} \\ &\implies A = A(AB) - A(BA) \\ &\implies \operatorname{tr}(A) = 0 \end{align}

También, por Cayley Hamilton teorema yo podría conseguir a $|B|\neq0$$

Esto es todo lo que pude reunir.

Answer 1

De $$ A=A(AB-BA),$$ since $AB-BA=I$ is impossible, you get that $$ is not invertible. So $|A|=0$, and from your last equality $$A^2=-|A|I=0.$$

No se puede mejorar. Vamos $$ A=\begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix},\ \ \ B=\begin{bmatrix} 0&2\\-1&0\end{bmatrix}. $$ A continuación, sus condiciones son satisfechas: $$ AB=A^2B^2-(AB)^2,\ \ \ \det B=2. $$

Answer 2

$$\det AB=2\det A = \det A \det ( I - BA) \det B = 2 \det A \det (I-BA) $$ $$\det A = \det A \det (I - BA)$$

El resultado de ello se derivan.