Ordenación temporal de los operadores de fermiones

Question

Si $A$ y $B$ son operadores de fermiones, entonces el ordenamiento temporal se define como \begin {eqnarray} T(AB) = \left\ { \begin {array}{rl} AB, & \mbox {si $B$ precede a $A$ } \\ -BA, & \mbox {si $A$ precede a $B$ } \end {array} \right. \hspace {2in} (1) \end {eqnarray} Por otro lado, el operador de ordenación del tiempo que surge en la solución de $$i \partial_t U(t,t_0) = H_{_I}(t) U(t,t_0), \hspace{3.1in}$$ como $$U(t,t_0) = T \left[e^{-i \int_{t_0}^t H_{_I}(\tau) d\tau}\right] \hspace{3in} (2) $$ es el operador habitual (bosónico) de ordenación del tiempo, incluso si $H_{_I}$ tiene campos de fermiones; no podemos utilizar la definición de ordenación temporal mostrada en (1) en la derivación de (2) porque la introducción de un signo negativo cuando se invierte el orden de los operadores de fermiones desordena el recuento combinatorio y no producirá el exponencial en (2). (En (2), $U(t,t_0)$ es el operador unitario de evolución en la imagen de interacción y $H_{_I}$ el hamiltoniano de la interacción).

Entonces, ¿la definición de ordenación del tiempo mostrada en (1) no es inconsistente con la definición utilizada en (2)? ¿Qué me falta?

Answer 1

Es porque siempre aparece un número par de campos fermiónicos en el Hamiltoniano. por ejemplo el Lagrangiano de Dirac para el electrón libre: $\mathcal{L}=i\hbar\bar \psi(\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$ tiene dos $\psi$ s. La invariancia de la teoría ante una transformación gauge global requiere que cada término del Lagrangiano tenga un número par de campos fermiónicos. Dado que un número par de campos fermiónicos conmuta dentro del operador de ordenación del tiempo, no hay un signo menos adicional.