Permutaciones conjugadas en $S_n$ y / o $A_n$

Question

Dadas dos permutaciones , me piden que responda si son permutaciones conjugadas .

Las dos permutaciones son : $\alpha=(12)(345)(78)$ , $\beta=(162)(35)(89)$ .

Definición: Dos permutaciones $\sigma,\sigma'\in S_n$ son conjugados si existe $\tau \in S_n$ tal que: $\sigma'=\tau\sigma\tau^{-1} = (\tau(a_0),\tau(a_1)\ldots \tau(a_k))$ , donde $\alpha=(a_0a_1\ldots a_k)$ .

Me llevó mucho tiempo encontrar el $\tau$ que calcularía el valor exacto de $\beta$ que es: $$\tau=(13)(25)(46)(789)$$

Así que si queremos producir son $\beta$ podemos hacer lo siguiente : $$(\tau(1),\tau(2))(\tau(3)\tau(4)\tau(5))(\tau(7)\tau(8))=(35)(162)(89)$$ y de hecho, ellos ( $α$ y $β$ ) son conjugados.

Mi pregunta, después de este "largo" post, es bastante simple: ¿hay una forma sencilla de calcular el $\tau$ ?

Saludos

Answer 1

Sí.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que en general hay muchos $\tau$ que funcionan. Has encontrado uno; aquí hay otro: $$\tau= (1,8,5,2,9,4,6,7,3).$$ Sí, es cierto, $$\tau\alpha\tau^{-1} = (\tau(1)\tau(2))(\tau(7)\tau(8))(\tau(3)\tau(4)\tau(5)) = (8,9)(3,5)(1,6,2)=\beta.$$

Teorema. Dos permutaciones $\alpha$ y $\beta$ son conjugados en $S_n$ si y sólo si tienen la misma estructura de ciclo.

La prueba proporciona un algoritmo para encontrar un $\tau$ que funciona.

Si $\alpha$ y $\beta$ son conjugados, entonces tienen la misma estructura de ciclo. Esto, porque el conjugado de un $n$ -ciclo es un $n$ -y el conjugado de un producto es un producto de conjugados.

A la inversa, supongamos que $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma estructura de ciclo. Digamos que $$\alpha = \sigma_1\cdots\sigma_m,\quad \beta=\sigma'_1\cdots \sigma'_m$$ donde $\sigma_i$ y $\sigma'_i$ son $n_i$ -ciclos. Escribe $\alpha$ y $\beta$ una encima de la otra, de manera que los ciclos de la misma longitud coincidan; interprete esto como una $2$ -línea de descripción de una permutación, completándola con un elemento de $\sigma_n$ de la manera que quieras.

Por ejemplo, con las dos permutaciones que tienes arriba, $\alpha=(1,2)(7,8)(3,4,5)$ , $\beta=(3,5)(8,9)(1,6,2)$ tenemos: $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 7 & 8 & 3 & 4 & 5 & & &\\ 3 & 5 & 8 & 9 & 1 & 6 & 2 & & & \end{array}\right)$$ Obsérvese que falta la línea superior $6$ y $9$ y el resultado final es que falta $4$ y $7$ ; podemos añadirlos de la forma que queramos; por ejemplo, $$\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 7 & 8 & 3 & 4 & 5 &6 & 9\\ 3 & 5 & 8 & 9 & 1 & 6 & 2 & 7 & 4 \end{array}\right)$$ Ahora viendo esto como una descripción de 2 líneas de una permutación, obtenemos $$\tau = (1,3)(2,5)(7,8,9,4,6)$$ como una posibilidad. Si ordena los ciclos de forma diferente (siempre que coincidan), o reordena los términos dentro del ciclo, puede obtener un $\tau$ . Por ejemplo, escribir en lugar de $$\begin{align*} \alpha &= (12)(78)(453)\\ \beta &= (89)(53)(162) \end{align*}$$ obtenemos $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 7 & 8 & 4 & 5 & 3 & &\\ 8 & 9 & 5 & 3 & 1 & 6 & 2 & & \end{array}\right)$$ con $6$ y $9$ en la línea superior que va a $4$ y $7$ de alguna manera; eligiendo una al azar, $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 7 & 8 & 4 & 5 & 3 & 6 & 9 \\ 8 & 9 & 5 & 3 & 1 & 6 & 2 & 4 & 7 \end{array}\right)$$ obtenemos $\tau = (1,8,3,2,9,7,5,6,4)$ .

Para saber si las permutaciones son conjugadas en $A_n$ sin embargo, es un poco más complicado: es necesario que tengan la misma estructura de ciclo, pero en general no es suficiente. Por ejemplo, en $S_3$ las permutaciones $(123)$ y $(132)$ son conjugados (por ejemplo, conjugados mediante $(23)$ ); pero en $A_3$ no lo son (ya que $A_3$ es abeliano, elementos diferentes no pueden ser conjugados).

Answer 2

Quieres hacer $\alpha=(12)(345)(78)$ "parecer $\beta=(162)(35)(89)$ . Primero escríbalos con estructuras de ciclo coincidentes; hay varias formas de hacerlo, y no importa cuál elija, así que reescribiré $\beta$ como $(35)(162)(89)$ . Ahora quieres $\tau$ para "traducir" entre las dos permutaciones. La forma en que los he alineado, $$\begin{align*}&(12)(345)(78)\\&(35)(162)(89)\;,\end{align*}\tag{1}$$ puede ver que $\tau$ necesita traducir $1$ a $3$ y $2$ a $5$ para que $\alpha$ 's $(12)$ se convierte en $\beta$ 's $(35)$ y así sucesivamente. Como sugirió Jack Schmidt, esto equivale a escribir $$\tau=\pmatrix{1&2&3&4&5&7&8\\3&5&1&6&2&8&9}\tag{2}$$ en notación de dos líneas. Sin embargo, esto está claramente incompleto: le falta $6$ y $9$ en la línea superior y $4$ y $7$ en la línea de fondo. Así, $(1)$ debe ser completado para $$\begin{align*}&(12)(345)(78)(6)(9)\\&(35)(162)(89)(4)(7)\;,\end{align*}$$ permitiendo así $(2)$ a completar para $$\tau=\pmatrix{1&2&3&4&5&7&8&6&9\\3&5&1&6&2&8&9&4&7}\;.$$

En notación cíclica es $\tau=(13)(25)(46)(789)$ la que realmente encontraste.

Esto funciona porque $\tau^{-1}$ en efecto, sólo cambia el nombre de los enteros $1$ a través de $9$ para que $3$ se llama temporalmente $1$ , $5$ se llama temporalmente $2$ y así sucesivamente. Así, cuando se aplica $\tau^{-1}$ , estás traduciendo de $\beta$ de la lengua a $\alpha$ y, a continuación, realiza $\alpha$ y aplicar $\tau$ , con lo que se traduce de nuevo de $\alpha$ de la lengua a $\beta$ 's. El resultado neto es que has realizado $\beta$ . Considere $6$ por ejemplo: $\tau^{-1}$ lo traduce como $4$ que $\alpha$ luego lleva a $5$ que $\tau$ se traduce en $2$ exactamente donde $\beta$ lo hubiera puesto en primer lugar.

Answer 3

Escribe las dos permutaciones en notación de ciclo completo, escribiendo los ciclos del más largo al más corto (los ciclos de la misma longitud pueden ordenarse arbitrariamente, el número inicial del ciclo puede elegirse arbitrariamente dentro del ciclo).

En su ejemplo: $$\begin{align*} \alpha &= (3,4,5)(1,2)(7,8)(6)(9) \\ \beta &= (1,6,2)(3,5)(8,9)(4)(7) \end{align*} \text{ so } \tau = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & 7 & 8 & 6 & 9 \\ 1 & 6 & 2 & 3 & 5 & 8 & 9 & 4 & 7\end{bmatrix}$$

En otras palabras, $\tau(3)=1, \tau(4)=6$ etc. Puede convertir $\tau$ a la notación de ciclo de la manera obvia mediante el "rastreo", $\tau=(3,1)(4,6)(5,2)(7,8,9) = (1,3)(2,5)(4,6)(7,8,9)$ .

Otro $\tau$ se encuentra por:

$$\begin{align*} \alpha &= (3,4,5)(7,8)(2,1)(9)(6) \\ \beta &= (1,6,2)(5,3)(8,9)(4)(7) \end{align*} \text{ so } \tau = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 7 & 8 & 2 & 1 & 9 & 6 \\ 1 & 6 & 2 & 5 & 3 & 8 & 9 & 4 & 7\end{bmatrix}$$

y $\tau= (3,1,9,4,6,7,5,2,8)$ .

Como se pueden reordenar los ciclos de la misma longitud, y como se puede "ciclar" un ciclo tanto como se quiera, en realidad se obtienen muchos $\tau$ de hecho un coset entero de un centralizador. Una forma de calcular el centralizador de $\alpha$ es aplicar este procedimiento cuando $\alpha = \beta$ .