Demuestra que un grupo es abeliano.

Question

Posible duplicado:
Grupo donde cada elemento es de orden 2

Dejemos que $(G,\star)$ sea un grupo con elemento de identidad $e$ tal que $a \star a = e$ para todos $a \in G$ . Demostrar que $G$ es abeliana.

Ok, lo que tengo es lo siguiente: queremos demostrar que un b=b a, es decir, si a a=e , a=a' donde a' es la inversa y b b=e, b=b' donde b' es la inversa por lo que a b=(a b)'=b' a'=b a....

Answer 1

SUGERENCIA: Tiene que demostrar $ab = ba$ , $\forall a,b \in G$ . Tenga en cuenta que, dado que $ab \in G$ también tenemos que $(ab)^2 = e$ es decir $(ab)(ab) = e$ . Además, $a^{-1} = a$ y $b^{-1} = b$ . ¿Puedes terminar esto ahora?

Answer 2

Dado $a,b\in G$ queremos saber $ab=ba$ es decir $aba^{-1}b^{-1}=e$ .

Lo que sabemos es que $a*a=e$ es decir $a=a^{-1}$ De la misma manera $b=b^{-1}$ Así que lo que tenemos que verificar es que $abab=e$ .

Answer 3

Si $a*a=e$ entonces $a=a^{-1}$ . De ello se desprende que $(a*b)^{-1}=a*b$ pero $a*b= b^{-1}*a^{-1}$ se obtiene la igualdad deseada para comparar ambas expresiones.

Answer 4

Hay grupos con $a\cdot a = e$ para todos $a\in G$ con más de un elemento, por lo que ese razonamiento no funcionará.

Lo que puede querer pensar: Si $a\cdot a = e$ para todos $a\in G$ Entonces, ¿qué te dice esto sobre el elemento $ab$ ? Sabemos que $(ab)^2 = e$ y así...