Su problema, como hemos resuelto en los comentarios, es que $(0)$ no es primo. De hecho, después de la localización $(0)=(2)$ . Generalicemos: determinaremos cuándo dos ideales de una cierta clase de anillos (incluyendo todos los cocientes $\mathbb Z/n\mathbb Z$ para $n\ne 0$ ) son iguales después de la localización.
Dado un conjunto cerrado multiplicativo $S\subset R$ el conjunto $\{r\in R:rs=0\text{ for some } s\in S\}$ es un ideal, que llamaremos $S^{\bot}$ .
Nuestro teorema general es,
Teorema. Si $R$ es un anillo conmutativo con unidad tal que todo ideal primo es maximal, entonces $S^{-1}R\cong R/S^{\bot}$ para cualquier conjunto cerrado multiplicativo $S$ .
En particular, si $I$ y $J$ son ideales de $R$ entonces $S^{-1}I=S^{-1}J$ si y sólo si $I+S^{\bot}=J+S^{\bot}$ .
En el caso $R=\mathbb Z/(n)$ podemos calcular el generador de pullback del ideal $S^{\bot}$ a $\mathbb Z$ . Lo llamaremos $d$ . En primer lugar, $S^{\bot}=\sum_{s\in S}\operatorname{ann}(s)$ ya que $S^{\bot}$ es simplemente la unión de esos aniquiladores. En segundo lugar, si $rs=0$ en $\mathbb Z/(n)$ y $s\ne 0$ entonces $r's'=kn$ y $s'\ne 0$ para los representantes $r',s'$ en $\mathbb Z$ . Así que, $r'=kn/s'\in (n/\gcd(n,s'))$ . Además, lo contrario, que $rs=0$ cuando $r'\in (n/\gcd(n,s'))$ para un par de representantes $r',s'$ es claramente cierto. Esto significa que $\operatorname{ann}(s)$ es la imagen de $(n/\gcd(n,s'))$ en $\mathbb Z/(n)$ . Así, $S^{\bot}$ es la imagen de $$\sum_{s\in S}(n/\gcd(n,s'))=(\gcd_{s\in S}\{n/\gcd(n,s')\}).\tag{1}$$ Por último, el número $\gcd(n,s')$ está determinada de forma única por $s$ por lo que el generador del ideal en $(1)$ está determinada de forma única por el conjunto $S$ .
Dejemos que $I$ y $J$ sean ideales de $\mathbb Z/(n)$ . Dejemos que $(a)$ y $(b)$ sean sus respectivos pullbacks en $\mathbb Z$ . Entonces, $S^{-1}I=S^{-1}J$ si y sólo si $(a)+(d)=(b)+(d)$ si y sólo si $\gcd(a,d)=\gcd(b,d)$ .
Prueba (Teorema). Dejemos que $R$ sea un anillo de este tipo. Como los ideales primos mínimos de un anillo conmutativo están formados por divisores cero, el conjunto de todas las unidades de $R$ es precisamente el conjunto de sus divisores no nulos.
En primer lugar, consideremos el caso $S^{\bot}=0$ . Si $s\in S$ fuera una no unidad, entonces sería un miembro de algún ideal de $R$ por lo que sería un divisor de cero. Si $rs=0$ Sin embargo, entonces $r\in S^{\bot}$ que implica $r=0$ que es una contradicción. Por lo tanto, $S$ consiste en unidades en este caso, por lo que $R/S^{\bot}=R=S^{-1}R$ .
Ahora, volvamos al caso general. Establezca $A=R/S^{\bot}$ . Entonces, el homomorfismo canónico $R\to S^{-1}R$ factores como $$R\xrightarrow{\phi} A\to S^{-1}R.$$ Definir $\bar S=\phi(S)$ . Si $f:R\to R'$ es un homomorfismo de anillo tal que $f(s)$ es invertible para todo $s\in S$ entonces existe $\rho: S^{-1}R\to R'$ tal que $f$ es el mismo que el compuesto $R\to S^{-1}R\to R'$ . Esto determina un homomorfismo $g: A\to R'$ tal que $g\circ\phi=f$ y $g(\bar s)$ es invertible cuando $\bar s\in\bar S$ . Utilice la propiedad universal de localización para determinar un mapa $h: \bar S^{-1}A\to R'$ , donde $R\to A\to \bar S^{-1}A\to R'$ es $f$ . Tenga en cuenta que $h$ está determinada de forma única por $f$ ya que está determinada unívocamente por $g$ que, a su vez, está determinada de forma única por $f$ . Por lo tanto, $\bar S^{-1}A\cong S^{-1}R$ .
Por último, calculemos $\bar S^{\bot}$ . En $R$ , si $rs\in S^{\bot}$ donde $r\in R$ y $s\in S$ entonces $rss'=0$ para algunos $s'\in S$ . Desde $S$ es multiplicativamente cerrado, se deduce que $r\in S^{\bot}$ . Por lo tanto, si $\phi(r)\phi(s)\in\bar S^{\bot}$ entonces $rs\in S^{\bot}$ Así que $\phi(r)\in\phi(S^{\bot})=0$ . Por lo tanto, $\bar S^{\bot}=0$ . Ya hemos resuelto este caso anteriormente, $\bar S^{\bot}A=A$ . Por lo tanto, $S^{-1}R\cong A$ q.e.d.
