Si $x, y \in X$$x \neq y$, entonces no existe $f \in X^*$ tal que $f(x) \neq f(y)$.

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio lineal. Probar que si $x, y \in X$$x \neq y$, entonces no existe $f \in X^*$ tal que $f(x) \neq f(y)$.

Aquí $X^*$ denota el espacio dual de $X$.

Estoy recibiendo algunos olor de la utilización de Hahn teorema de Banach, pero no es capaz de demostrarlo. Necesito algunos consejos.

Answer 1

Deje $x,y \in X$ tal que $x \neq y$.

Suponga que $f(x)=f(y) ,\forall f \in X^*\Rightarrow f(x-y)=0$

De las consecuencias de Hahn-Banach existe $f_0 \in X^*$ tal que $||f_0||=1$$f_0(y-x)=||x-y||$.

Pero $$f_0(x-y)=0 \Rightarrow ||x-y||=0 \Rightarrow x=y$$ contradiciendo la hipótesis de que la $x \neq y$

Answer 2

Sugerencia: Su idea es buena. Aplicar de Hahn-Banach en $x-y\neq 0$.

Answer 3

De Hahn-Banach es el camino correcto. Acaba de darse cuenta de que los conjuntos de $\{x\}$ $\{y\}$ son convexas, no vacío, discontinuo y compacto.

Answer 4

El Hahn-Banach todo el mundo está hablando, pero no de ortografía:

Tomar $$H:=span \{x-y\}$$ and define a linear functional on $H$ as $$f(t(x-y)):=t \ $$ An extension of this $f$ a todos los de su espacio de trabajo.

Answer 5

$\forall$ x $\in X$ tal que $x \neq 0 $ podemos encontrar $f \in X^{*}$ tal que $f(x)\neq0$ (el uso de Hahn-Banach teorema) y desde $x-y\neq0$ usted puede encontrar dicha función