La dimensión del subespacio es mayor que la dimensión del espacio

Question

Si $X$ es un espacio topológico, entonces es (la cobertura) dimensión se define como un número mínimo $n$ tal que para cada finito abra la cubierta $\{U\}$ $X$ hay un número finito de abrir la cubierta de $\{V\}$ $X$ que refina $\{U\}$ y tales que cada punto de $x \in X$ está contenida en no más de $n+1$$\{V\}$.

Si $X$ tiene una dimensión $n$ $F$ es un subespacio cerrado de $X$$\dim F \leqslant n$. Es un ejercicio fácil: si $\{U\}$ es una cubierta abierta de a $F$ $\{U\}$ $F^c$ dar y abra la cubierta de $X$ y podemos usar la definición de dimensión de $X$ obtener $\dim F \leqslant \dim X$.

Pero no encontré en ningún libro que es cierto en general. También no he encontrado un contraejemplo. Es posible que un subespacio $Y$ $X$ tiene una dimensión mayor que la dimensión de $X$? Si es posible, es muy interesante ver este tipo de ejemplo.

Answer 1

Hay ejemplos de T$_{3 \, 1/2}$-espacios de $X$ y cerró $F \subseteq X$$\mathrm{dim}(F) > \mathrm{dim}(X)$.

Problema 7.4.6 (p.419) de Engelking de la Topología General (1989 ed.) pide un ejemplo de un espacio de este tipo. Este ejemplo es en el mismo abonado a

Yu. M. Smirnov, En la dimensión de la proximidad de los espacios (ruso), Mat. Sb. N. S. 38 (1956), 283-302 MR0082095 (traducción al inglés Amer. De matemáticas. Soc. Trad. (2) 21, 1962, 1-20. MR150728).

Para no cerrado subconjuntos, es un poco más fácil (aunque volveré a robar de Engelking).

Tomar un cero-dimensional no fuertemente cero-dimensional espacio de $X$ (por ejemplo, Dowker Ejemplo, 6.2.20 en Engelking). Este espacio tiene un cero-dimensional compactification $\gamma X$ (Corolario 6.2.17) y todas las compactas - en el hecho de Lindelöf - cero-dimensional espacio está fuertemente cero-dimensional (Teorema de 6.2.7). Por lo tanto,$\mathrm{dim} ( \gamma X ) = 0 < \mathrm{dim} (X)$.

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Añadido: ahora veo que la definición de la cobertura dimensión se aplica sólo a la normal espacios. Como se indicó en el OP, es un teorema que subespacios cerrados de lo normal espacios no tienen grandes que cubren dimensión.

Para el segundo ejemplo, el espacio de $X$ de Dowker el Ejemplo es normal, y claramente también lo es su cero-dimensional compactification $\gamma X$, y para esto produciría un ejemplo de una normal subespacio de un espacio normal estrictamente mayor que cubren dimensión.