Trigonométricas límite de $\lim_{x\to\pi/4}\frac{1-\tan x}{1-\sqrt{2}\sin x}$

Question

El límite es $$\lim_{x\to\pi/4}\frac{1-\tan x}{1-\sqrt{2}\sin x}$$ I was able to solve it using L'hopital and the answer that I got was $2$.

Puede usted por favor confirmar si la respuesta es correcta y sugerir alguna otra manera de evaluar el límite sin usar de L'hospital?

Answer 1

Multiplicar ambos deminator y el numerador de la $\left( 1+\sqrt { 2 } \sin { x } \right) $ $\left( 1+\tan { x } \right) $ respectivamente \begin{align*} \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}{\frac{1-\tan x}{1-\sqrt{2}\sin x}}={}&\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}{\frac{\left(1-\tan^2\!x\right)\left(1+\sqrt2\sin x\right)}{\left(1-2\sin^2\!x\right)\left(1+\tan x\right)}}={} \\ {}={}&\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}{\frac{\frac{\cos(2x)}{\cos^2\!x}\left(1+\sqrt2\sin x\right)}{\cos(2x)\left(1+\tan x\right)}}={} \\ {}={}&\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\left(1+\sqrt2\sin x\right)}{\cos^2\!x\left(1+\tan x\right)}=2. \end{align*}

Answer 2

Deje $x=y+\frac{\pi}4$. Entonces $$\tan x=\frac{\tan y+1}{1-\tan y}$$ y $$\sin x=\frac1{\sqrt2}\sin y+\frac1{\sqrt2}\cos y$$ $$\begin{align}\frac{1-\tan x}{1-\sqrt2\sin x}&=\frac{1-\frac{\tan y+1}{1-\tan y}}{1-\sin y-\cos y}\\ &=\frac{-2\tan y}{(1-\tan y)(1-\sin y-\cos y)}\\ &=\frac{-2\sin y}{(\cos y-\sin y)(1-\sin y-(1-2\sin^2(\frac y2)))}\\ &=\frac2{(\cos y-\sin y)(1-\frac{2\sin^2(\frac y2)}{2\sin(\frac y2)\cos(\frac y2)})}\\ &=\frac2{(\cos y-\sin y)(1-\tan(\frac y2))}\end{align}$$ Tomar como límite $y\rightarrow0$ conseguir $2$.

Answer 3

Usted puede utilizar expansiones de Taylor. La expansión de Taylor de una función de $f(x)$ alrededor de un punto de $x=a$ puede ser escrito como la suma infinita $$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...$$ Usted puede encontrar más información acerca de la expansión de Taylor en https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor.

Si usted ampliar las funciones trigonométricas en torno a $x=\pi/4$ hasta el primer fin de encontrar $$\tan(x)=1+\left.1/\cos(x)^2\right|_{x=\pi/4}(x-\pi/4)+...=1+2(x-\pi/4)+...\\ \sin(x)=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}(x-\pi/4)+...$$ Entonces, teniendo en cuenta los términos en el polinomio hasta el primer fin de $(x-\pi/4)$, el límite puede ser escrito como $$\lim_{x\to\pi/4}\frac{1-1+2(x-\pi/4)}{1-\sqrt2\left[\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}(x-\pi/4)\right]}=\lim_{x\to\pi/4}\frac{2(x-\pi/4)}{(x-\pi/4)}=2$$

Answer 4

Aquí vamos a proceder sin el uso de L'Hospital de la Regla o de otras metodologías basadas en el cálculo diferencial, pero el uso básico sólo trigonométricas identitied. Para ello, escribimos

$$\begin{align} \frac{1-\tan(x)}{1-\sqrt{2}\sin(x)}&=\frac{-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)}{\cos(x)(1-\sin(x-\pi/4)-\cos(x-\pi/4))}\\\\ &=-\frac{2}{\sqrt{2}\cos(x)}\,\frac{2\sin\left(x-\pi/4\right)}{2\sin^2\left(\frac{x-\pi/4}{2}\right)-\sin(x-\pi/4)}\\\\ &=-\frac{2}{\sqrt{2}\cos(x)}\,\frac{\cos\left(\frac{x-\pi/4}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x-\pi/4}{2}\right)-\cos\left(\frac{x-\pi/4}{2}\right)}\\\\ \end{align}$$

Finalmente, dejando $x\to \pi/4$ nos encontramos con el codiciado límite

$$\lim_{x\to \pi/4}\frac{1-\tan(x)}{1-\sqrt{2}\sin(x)}=2$$

como se esperaba!

Answer 5

Deje $f(x) = 1-\tan x, g(x) = 1-\sqrt 2\sin x.$ La expresión es igual a

$$\frac{f(x) - f(\pi/4)}{g(x) - g(\pi/4)} = \frac{(f(x) - f(\pi/4))/(x-\pi/4)}{g(x) - g(\pi/4)/(x-\pi/4)} .$$

Por definición de la derivada, esto $\to f'(\pi/4)/g'(\pi/4)$ $x\to \pi/4.$ Este cociente de derivados es fácil de calcular.