Puede que no sean normales matrices con doble autovalores nunca se diagonalized?

Question

Hay una matriz de $A$ $A^TA≠ AA^T$ (no-normalidad) y doble autovalor que todavía es diagonalizable?

Si $A^TA \neq AA^T$ $λ_1 =λ_2 = λ$ (autovalor doble)

$\stackrel{?}{⇒}$

no existe $V$, $Ω$ con $A = V Ω V^{-1}$ ?

Como un ejemplo, considere la posibilidad de $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & a \end{bmatrix}$ which is obviously non-normal. When I change the matrix to $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ en el fin de conseguir un doble valor propio, que resulta ser no diagonalizable. Es éste siempre el caso?

Answer 1

Dimensiones de $3$ o superiores, es muy fácil construir un ejemplo como usted desea. Vamos a empezar con una matriz diagonal $$ D=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}. $$ Si ahora nos conjugado $D$, con un no-simétrica matriz invertible, es probable que obtener un ejemplo como el que usted desea. Digamos $$ S=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}. $$ Entonces $$ A=SDS^{-1}=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0 \end{bmatrix}. $$ Entonces $$ A^TA=\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&2\end{bmatrix},\ \ AA^T=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&0\end{bmatrix}. $$

Answer 2

Deje $A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. Es fácil comprobar que $A$ no es normal, pero el uso de $V=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, se puede comprobar que $V^{-1} A V= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Answer 3

Tal vez el ejemplo más sencillo (en el sentido de que, el menor número de no-cero entradas) serían $$A=\pmatrix{0&0&0\cr0&0&1\cr0&0&1\cr}$$