El complemento de un toro es un toro.

Question

Toma $S^3$ para ser la trosfera, es decir, $S^3=\lbrace (x_1,x_2,x_3,x_4):x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^4=1\rbrace$ . Utilización de la proyección estereográfica, $S^3=\mathbb{R}^3\cup \lbrace \infty \rbrace.$ ¿Puede alguien explicar cómo el complemento del toro sólido (centrado en el origen) $S^1\times D^2$ , donde $D^2$ es un 2-disco, es también un toroide? Estoy leyendo el artículo de Milnor "On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere", y este es un requisito previo para entender cómo Milnor pega las superficies de dos toros de la forma $S^3 \times D^4$ en $S^6$ para crear un exótico $7$ -Esfera.

Answer 1

Un toroide sólido es $x_1^2 + x_2^2 \leq \frac{1}{2}.$ El otro toro sólido es $x_3^2 + x_4^2 \leq \frac{1}{2}.$ La intersección, un toroide, es...

Answer 2

El límite de $x_1^2+x_2^2 < \frac{1}{2}$ (en el $x_1x_2$ -) es un círculo, con la ecuación $x_1^2+x_2^2 = \frac{1}{2}$ . Igualmente, para el límite de $x_3^2+x_4^2 < \frac{1}{2}$ . El límite de cualquiera de las dos regiones es, pues, el producto cartesiano de dos círculos, un toroide.