Distinguir las extensiones de campo de $\mathbb{Q}$ de grado $3$ .

Question

Me encontré con la siguiente pregunta en un antiguo examen de calificación:

Encuentra una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ con el grupo de Galois $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ .

Una forma muy sencilla de abordar este problema es encontrar dos polinomios distintos de grado $3$ con grupos de Galois $A_3 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ y demostrar que las extensiones de campo que generan no coinciden. Entonces el grupo de Galois debe ser $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ por Lang Th. VI.1.14 .

Hay una gran cantidad de polinomios de este tipo; por ejemplo, si $a = k + k^2 + 7$ para algún número entero entonces, $X^3 -aX + a$ hace el truco (ver Conrad ). Desgraciadamente, no tengo ni idea de cómo demostrar que dos extensiones de campo de este tipo no coinciden, excepto por la posibilidad de encontrar explícitamente las raíces de los dos polinomios, y luego intentar derivar una contradicción tratando de expresar una raíz de un polinomio en términos de las raíces del otro. Sin embargo, hacer esto me pondría muy triste, por lo que mi pregunta es:

¿Cómo puedo demostrar (elegantemente) que la extensión de dos campos de $\mathbb{Q}$ de grado $3$ no coinciden?

Answer 1

Si yo estuviera respondiendo a la pregunta del examen, habría enfocado la pregunta de forma un poco más computacional y específica. Las extensiones $\Bbb Q(\zeta_7)\supset\Bbb Q$ y $\Bbb Q(\zeta_9)\supset\Bbb Q$ son ambos de grado seis, con grupo de Galois cíclico, por lo que cada uno tiene un subcampo cúbico sobre $\Bbb Q$ . Desde $\Bbb Q(\zeta_7)$ se ramifica sólo en $7$ y $\Bbb Q(\zeta_9)$ se ramifica sólo en $3$ las extensiones cúbicas también se ramifican sólo en $7$ y $3$ respectivamente. Así que son diferentes.

Answer 2

Muchos campos de pares pueden distinguirse por su discriminante. Y conocer el discriminante de un polinomio definidor en lugar del del campo suele ser suficiente.

Recordemos que si $f$ es un polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$ que define un campo numérico $K$ entonces existe algún número entero $s$ tal que

$$ \operatorname{disc}(f) = s^2 \operatorname{disc}(K) $$

Por lo tanto, si tienes dos polinomios irreducibles $f$ y $g$ de manera que el cociente de sus discriminantes no sea un cuadrado, entonces no pueden definir el mismo campo.

Aunque, como se señala en los comentarios, los cúbicos con grupo galois $A_3$ son precisamente aquellos cuyo discriminante es un cuadrado, por lo que para que este enfoque funcione hay que hacer algo más que mirar el discriminante de un único polinomio definidor; por ejemplo

• Obtener el discriminante de campo real
• Encontrar los polinomios que definen los dos campos cuyos discriminantes son relativamente primos (explotando el hecho de que $\operatorname{disc}(K) \neq 1$ para cada campo numérico $K \neq \mathbb{Q}$ ).

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Otra prueba sencilla consiste en factorizar un número entero. Si $K$ y $L$ son dos campos tales que $p\mathcal{O}_K$ y $p\mathcal{O}_L$ tienen factorizaciones en ideales que no tienen el mismo patrón de grados e índices de ramificación, entonces no son el mismo campo.

Por ejemplo, si los discriminantes de $f$ y $g$ son cúbicos con grupo galois $A_3$ y ambos tienen un discriminante relativamente primo a $p$ y $f$ tiene tres raíces en $\mathbf{F}_p$ pero $g$ no tiene raíces en $\mathbf{F}_p$ entonces los campos definidos por $f$ y $g$ son distintos.

En ese caso, en el campo definido por $f$ , $(p)$ es un producto de tres ideales de grado $1$ pero en el campo definido por $g$ , $(p)$ es un ideal primo.

Answer 3

En su pregunta al final, no especifica si sus campos cúbicos son de Galois por encima de $Q$ pero todo el contexto de tu post sugiere que lo son. En este caso tu problema admite una solución puramente teórica de Galois (la aritmética entrará en juego sólo sobre $Q$ ).

Dejemos que $p$ sea un primo impar (para simplificar) y $k$ sea un campo de característica $\neq p $ . Denote por $G_k$ el grupo de Galois absoluto de $k$ . Cualquier extensión cíclica de $k$ de grado $p$ (digamos un $C_p$ - para abreviar) es el campo fijo de un subgrupo de índice $p$ de $G_k$ y cualquier subgrupo de este tipo es el núcleo de un homomorfismo no trivial $G_k \to C_p$ para que el $C_p$ -extensiones de $k$ se clasifican por los elementos no triviales del grupo $Hom(G_k, C_p)$ . Para seguir avanzando, introduzca el campo $K = k(\mu_p)$ , donde $\mu_p$ es el grupo de $p$ -raíces de la unidad, y considerar el mapa de restricción $Hom(G_k, C_p) \to Hom(G_K, C_p)$ . Para cualquier módulo de Galois $X$ , $\Delta=Gal(K/k)$ actúa sobre $Hom (G_K , X)$ de la forma habitual, más concretamente a través de $(\delta, f) \in \Delta \times Hom(G_K, X) \to f^{\delta}$ dado por $f^{\delta}(x)= \delta (f(\delta^{-1}(x))$ para $x \in X$ . Obsérvese que esta acción es la única que es functorial; aquí $\Delta$ actúa trivialmente sobre $C_p$ . Desde $\Delta$ tiene un orden primo a $p$ se sabe clásicamente que $Hom(G_k, C_p)\cong Hom(G_K, C_p)^{\Delta}$ donde el superíndice $(.)^{\Delta}$ denota las invariantes bajo $\Delta$ . Desde $G_K$ actúa trivialmente sobre $\mu_p$ , uno tiene $Hom(G_K, C_p)\cong Hom(G_K,\mu_p)$ como grupos, pero no como $\Delta$ -debido a la acción canónica de $\Delta$ definida anteriormente. En realidad, se puede comprobar fácilmente que $Hom(G_K, C_p)\cong Hom(G_K,\mu_p)(-1)$ , donde $(.)(-1)$ denota el llamado "giro de Tate", que significa que la acción de Galois sobre $Hom(G_K,\mu_p)$ ha sido sustituido por una nueva acción definida por $\delta^{new} (f)= \kappa(\delta)^{-1}.\delta^{old}(f)$ , donde $\kappa$ es el mod $p$ carácter definido por $\delta(\zeta)=\zeta^{\kappa(\delta)}$ para $\zeta \in \mu_p$ . En consecuencia, $Hom(G_k, C_p)$ puede identificarse con los elementos $f\in Hom(G_K,\mu_p)$ tal que $\delta (f)=\kappa(\delta).f$ (estos pueden ser vistos como "vectores propios" correspondientes a los "valores propios" $\kappa(\delta)$ .)

Ahora, por la teoría de Kummer, $Hom(G_K,\mu_p)\cong (K^{*}/K^{*})^p$ lo que significa más concretamente que cualquier $C_p$ -extensión de $K$ es de la forma $K(\sqrt [p]a)$ , donde $a$ representa una clase $\bar a \in (K^{*}/K^{*})^p$ y dos extensiones de este tipo $K(\sqrt [p]a)$ y $K(\sqrt [p]b)$ coinciden si $\bar a = \bar b^j$ para un determinado $j\neq 0$ mod $p$ . Resumiendo : dos $C_p$ -extensiones $L$ y $L'$ de $k$ coinciden si los campos compuestos $L.K = K(\sqrt [p]a)$ y $L'.K = K(\sqrt [p]b)$ coinciden, lo que significa que $\delta(\bar a)=\kappa(\delta).\bar a$ y $\bar a = \bar b^j$ , $j\neq 0$ mod $p$ . Esta es una forma teórica "elegante" de distinguir entre dos $C_p$ -extensiones de $k$ pero, por supuesto, en ejemplos concretos, requiere algunos cálculos - aunque en su caso particular $k=Q$ y $p=3$ No parecen especialmente complicados. Para campos cúbicos puros, es decir, de la forma $Q(\sqrt [3] a)$ con $a \in Q^{*}$ Incluso comienzan de manera obvia