Definición rápida e indolora del conjunto de los números reales

Question

Estoy buscando una forma sencilla de describir el conjunto subyacente de los números reales sin entrar en las secuencias de Cauchy o en los cortes dedekind. Además, quiero que la descripción no se basan en alguna noción de equivalencia (como se puede utilizar la noción de coprimo para dar a los racionales representantes únicos). Creo que lo siguiente funciona:

$\mathbb{R} = \{\text{All decimal expansions | does not end in repeating 9s}\}$ .

Mi pregunta es si me estoy olvidando de algo o si esto sirve de algo.

Editar: De hecho, esto no está cerrado bajo la definición habitual de $+$ y $\cdot$ pero podemos redefinir estas operaciones para "redondear" cuando sea necesario. Puedo verificar los axiomas de campo en mi tiempo libre; simplemente estoy viendo si alguien puede detectar una sutileza que se me haya escapado o si mi descripción realmente da representantes únicos de los reales.

Editar 2: (Un poco de contexto) Los carteles han dado algunas formas estupendas de definir los reales si se quiere dedicar una cantidad decente de tiempo a ello. Yo quiero dar los reales como un conjunto de expansiones decimales sin ninguna noción de equivalencia para poder pasar a hacer álgebra lineal. Por ejemplo, si estuviera enseñando un curso de primer año, los axiomas de campo ocuparían toda una clase y serían súper aburridos, y las secuencias de Cauchy/cortes de Dekekind harían que los estudiantes hicieran cola para abandonar el curso.

Answer 1

Servirá, pero será complicado y doloroso demostrar los axiomas de campo. Además, la definición de esta manera es algo arbitraria. ¿Por qué elegir la base $10$ ? Hay una forma más natural de hacerlo que es la definición de Bourbaki de los reales. Se basa en la construcción de la terminación de un espacio uniforme. La terminación de un espacio uniforme es precisamente el conjunto de filtros mínimos de Cauchy (por lo que, en particular, no hay ninguna equivalencia). Los reales son la terminación de los racionales, y a los racionales se les puede dar la estructura de un espacio uniforme (básicamente, ya que es un grupo topológico), por lo que se puede definir que los reales tienen como conjunto subyacente el conjunto de todos los filtros mínimos de Cauchy en $\mathbb Q$ .

Answer 2

Su definición no está cerrada bajo las operaciones aritméticas, al menos con sus definiciones habituales sobre las expansiones decimales. Por ejemplo, tomemos la expansión decimal $1/9 = 0.111...$ y multiplicar por 9 para obtener $0.999...$ que no es un elemento de su conjunto.

Answer 3

Si puedes leer en alemán, aquí tienes un desarrollo detallado del enfoque que defiende Gowers en el enlace que aparece en el comentario de Hans Lundmark:

http://www.math.ethz.ch/~blatter/Dualbrueche_2.pdf

Pero ten en cuenta lo siguiente: Sea cual sea el enfoque que se adopte, la cantidad de trabajo que hay que hacer para verificar todos los detalles es más o menos la misma.

Answer 4

Hay al menos 3 formas sensatas de hacerlo, esbozadas en Spivak:

1. Defina un número real como las secuencias de Cauchy de números racionales, con la relación de equivalencia de que dos secuencias son equivalentes si sus diferencias convergen a 0. Así que técnicamente un número real es una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy. Sí, esto es rápido e indoloro.

2. Definir un número real como un corte Dedekind. Un corte Dedekind consiste en dos conjuntos $(L, R)$ satisfactorio:

   • $L$ y $R$ forman una partición no trivial, lo que significa que cada una es no vacía, $L \cap R = \emptyset$ y $L \cup R = \mathbb{Q}$ .
   • Cada elemento de $L$ es menor que cada elemento de $R$ .
   • Si $a \in L$ entonces todos los números racionales menores que $a$ también están en $L$ . Del mismo modo, si $b \in R$ entonces todos los números racionales mayores que $b$ están en $R$ .
   • $L$ no tiene ningún elemento mayor. (El posible elemento mayor es el número real descrito por el corte. $R$ tendrá un elemento menor si y sólo si el corte de Dedekind corresponde a un número racional, concretamente a ese).

   Básicamente, un corte Dedekind se acerca todo lo posible a la localización de un número real, sin nombrarlo (ya que no puede, puesto que lo estamos construyendo). Personalmente me ha gustado esta vez, ya que es elemental de aprender pero tira de la completitud de la misma manera que un corte Dedekind tira de un número real.

3. Su enfoque. La salvación para el cierre es permitir 9s repetidos, y crear una relación de equivalencia. Es exactamente como funciona la aritmética del reloj: 7+7 violaría el cierre en un reloj (es decir $\mathbb{Z}/ 12\mathbb{Z}$ ) excepto que sabemos $14 \cong 2$ así que está bien. La forma rigurosa de hacerlo es pensar en los números del reloj como los conjuntos $\{0, 12, 24, \ldots\}, \{1, 13, 25, \ldots\}, \ldots$ y definir la adición en ellos. Sí, esto es "sin adornos".

Answer 5

La forma más sencilla: Los números reales son un conjunto con las operaciones +, -, *, / y las relaciones < = > que siguen los axiomas de la aritmética, y donde todo conjunto no vacío con un límite superior tiene un límite mínimo superior.

Las clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy son, en mi opinión, la forma más sencilla de demostrar que los números reales existen, y resultan naturales cuando se empieza a hablar de límites (basta con construir una secuencia que debe tienen el límite $2^{1/2}$ pero no lo hace en los números racionales porque el número no existe).

(Pasar a decimales con un número ilimitado de dígitos te meterá en un gran problema con sólo definir el producto de dos números).