¿Existe una descripción geométrica simple de $e$ ?

Question

Por supuesto que no estoy buscando una definición a través de $\int_1^e{1\over x} \, \mathrm{d}x=1$ o esa pendiente de $a^x$ en $x=0$ es $1$ cuando $a=e$ . Estoy buscando algo comprensible para un niño que ha comenzado a comprender $\pi$ como la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. O quizás por uno que tenga un par de años más.

(Y, por supuesto, no hay ninguna razón para sospechar que toda constante matemática tenga una simple descripción geométrica. Pero una "definición" que podría no ser adecuada para un texto de cálculo podría serlo para una introducción a los profanos).

Editar 1:

Un área que me parecería interesante sería una definición que utilizara toda la hipérbola $xy=1$ en lugar de trozos. Por supuesto, tanto el área (entre la hipérbola y las asíntotas) como la longitud, medida de la forma habitual, serán infinitas. He intentado proyectar la forma sobre una esfera para ver si obtengo un número similar a $e$ pero sin suerte.

Answer 1

Math is fun tiene una bonita descripción: http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html

Si se divide un número en $n$ partes y multiplicarlas juntas, la respuesta es mayor cuando su número se corta a un valor cercano a $e$ . Representa los trozos de un número de mejor tamaño para multiplicar juntos.

Answer 2

No estoy seguro de que esto sea "geométrico", pero me parece intuitivo. Una definición de $e$ es el siguiente límite, $$lim_{x\to 0}(1+\frac{1}{n})^n.$$ Llegados a este punto, puede que digas "esto no es muy intuitivo" y en este punto, tendrías razón. Así que permítanme explicar lo que es intuitivo en esta definición. La intuición viene de contemplar el interés compuesto. Si el tipo de interés es $r$ su valor futuro es $A$ su valor actual es $P$ el número de años que ha dejado su cuenta en blanco $t$ y el número de compuestos por año es $m$ entonces el valor futuro viene dado por, $$A=P(1+\frac{r}{m})^{mt}.$$ Ahora bien, si se invierte un dólar al principio del año a una tasa del 100%, (dejaremos que el número de compuestos por año varíe) entonces obtenemos $$A=(1+\frac{1}{m})^{m}.$$ ¿Y si permitimos que nuestros intereses se acumulen continuamente? Entonces, en cierto sentido, tenemos un número infinito de compuestos por año, así que tomamos el límite como $m$ va al infinito y tendremos $e$ dólares al final del año.

Ahora bien, esto puede parecer una tontería, pero si queremos modificar nuestra ecuación de interés compuesto para tratar el interés de composición continua, entonces la fórmula que obtenemos es $$A=Pe^{rt}.$$ Esta resulta ser una fórmula útil por varias razones. Si tenemos un interés que se compone por segundos, entonces el interés compuesto continuamente es una buena aproximación. Esto puede resultar útil cuando varias empresas financieras realizan muchas operaciones informáticas por segundo (lo que se denomina comercio de alta frecuencia).

Answer 3

De hecho su primera definición $\ \displaystyle\int_1^e \frac {dx}x\ $ permite una bonita definición geométrica :

• Dibuja la hipérbola $\ x\mapsto \frac 1x$

• Representar el primer cuadrado $[0,1]\times[0,1]\,$ y escribir $[1]$ en su interior

• Escriba $1$ a la derecha y arriba de este cuadro

• Escriba $\,1, e, e^2, e^3\cdots\ $ cerca de la $x$ y $y$ eje para que las áreas (delimitadas por dos líneas verticales y dos horizontales) sean $1$ siempre.

  También puedes probar con algo de aritmética: deja que los alumnos calculen $(1+1)^1$ , $(1+1/2)^2$ , $(1+1/3)^3\cdots$ Pregúntales si hay un límite. Explica que el límite no es un número racional...