¿Cómo puedo evaluar este multivariante límite?

Question

¿Cómo puedo evaluar el siguiente límite? $$\lim_{|(x,y,z)|\to+\infty}(x^4+y^2+z^2-x+3y-z).$$

Answer 1

SUGERENCIA

Al completar las plazas y el teorema del sándwich, tenga en cuenta que

$$x^4+y^2+z^2-x+3y-z\ge x^2+y^2+z^2-x+3y-z=$$ $$=\left( x-\frac12\right)^2+\left( y+\frac32\right)^2+\left( z-\frac12\right)^2-\frac{11}4\to +\infty$$

Answer 2

Deje $x=tu, \ y=tv, \ z=tw\,$ donde$\,t = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\,$$\,u=x/t, \ v=y/t, \ w=z/t$. Asumiendo $t>1$, tenemos que $$x^4+y^2+z^2-x+3y-z=t^2(t^2u^4+v^2+w^2)+t(-u+3v-w)\geq t^2(u^4+v^2+w^2)-t(|u|+3|v|+|w|)\geq t^2(t^2u^4+v^2+w^2)-5t.$$ Ahora, la función definida en la unidad de la bola de $\,\mathbb{S^2}\,$ $(u,v,w)\mapsto u^4+v^2+w^2$ tiene un mínimo absoluto $p$ (por el teorema de Weierstrass - $\,\mathbb{S^2}\,$ es cerrado y acotado). También, $p>0$ porque $u^4+v^2+w^2\geq0$, y si $u^4+v^2+w^2=0=p$$u=v=w$, pero $(0,0,0)\notin \mathbb{S^2}$. Por lo tanto $$x^4+y^2+z^2-x+3y-z>pt^2-5t$$ que claramente enfoques $+\infty$ uniforme para $(u,v,w)\in \mathbb{S^2}$.

---

Algunas Notas:

He utilizado los siguientes resultados:

$t^2>1\implies t^2u^2\geq u^2$ $t(-u+3v-w)\geq-t|-u+3v-w|\geq-t(|u|+3|v|+|w|)$ , así como el $|u|,|v|,|w|\leq 1.$