Una pregunta que me hizo mi profesor de matemáticas:
Demostrar por inducción que si W1,W2,...,Wn⊆W son subespacios de un espacio vectorial W sobre F, entonces W=W1⊕W2⊕...⊕Wn si y sólo si
W=W1+W2+...+Wn y Wi∩(W1+W2+...+Wi−1+Wi+1+...+Wn)={0}.
He demostrado un caso base con W1,W2.
Sin embargo, ¿cuál sería mi hipótesis inductiva? Esto me confunde. Por ejemplo, si digo W=W1⊕W2⊕...⊕Wk, No puedo decir W=W1⊕...⊕Wk+1, a menos que Wk+1={0}.
Creo que debería serlo:
H(n) : "Para cualquier subespacio F de W y para cualquier k subespacios de F con 1kn , si F=W1+...+Wk y la hipótesis de intersección también es cierta, entonces F=W1⊕...⊕Wk ".
Para la etapa de inducción ( n→n+1 ), dejemos que V=W1⊕...⊕Wn−1 , aplique la hipótesis de inducción a V con k=n−1 y luego escribir W=V⊕Wn y aplicar la hipótesis de inducción a W con k=2 .
Necesito una aclaración. Si se me permite, ¿estoy recorriendo la lista recursivamente? Es decir, empiezo con n y emparejará n-1 y n no n y n+1 ? Así que, digo que sobre W_1 \oplus W_2 \oplus ... \oplus ¿W_n-1?
Paso inductivo:
Supongamos que existe algún k∈N tal que
"Para cualquier subespacio W1,W2,…,Wk⊆W tenemos la equivalencia:
W=W1⊕W2⊕⋯⊕Wk si W=W1+W2+⋯+Wk y Wi∩(W1+W2+⋯+Wi−1+Wi+1+⋯+Wk)={0} "
Entonces tu paso es demostrarlo:
"Para cualquier subespacio W1,W2,…,Wk+1⊆W tenemos la equivalencia:
W=W1⊕W2⊕⋯⊕Wk+1 si W=W1+W2+⋯+Wk+1 y Wi∩(W1+W2+⋯+Wi−1+Wi+1+⋯+Wk+1)={0} "
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