Demostrar por inducción que la suma directa de subespacios de un espacio vectorial...

Question

Una pregunta que me hizo mi profesor de matemáticas:

Demostrar por inducción que si $$W_1, W_2, ... , W_n \subseteq W$$ son subespacios de un espacio vectorial W sobre F, entonces $$W = W_1 \oplus W_2 \oplus ...\oplus W_n$$ si y sólo si

$$W = W_1 + W_2 + ... + W_n$$ y $$W_i \cap (W_1 + W_2 + ... + W_{i-1}+W_{i+1}+...+W_n) = \{0\}.$$

He demostrado un caso base con $$W_1, W_2.$$

Sin embargo, ¿cuál sería mi hipótesis inductiva? Esto me confunde. Por ejemplo, si digo $$W = W_1 \oplus W_2 \oplus ...\oplus W_k,$$ No puedo decir $$W = W_1 \oplus ... \oplus W_{k+1},$$ a menos que $$W_{k+1} = \{0\}.$$

Answer 1

Creo que debería serlo:

$H(n)$ : "Para cualquier subespacio $F$ de $W$ y para cualquier $k$ subespacios de $F$ con $1kn$ , si $F = W_1 + ...+ W_{k}$ y la hipótesis de intersección también es cierta, entonces $F = W_1 \oplus ...\oplus W_k$ ".

Para la etapa de inducción ( $n \to n+1$ ), dejemos que $V = W_1 \oplus ...\oplus W_{n-1}$ , aplique la hipótesis de inducción a $V$ con $k = n-1$ y luego escribir $W= V \oplus W_n$ y aplicar la hipótesis de inducción a $W$ con $k=2$ .

Answer 2

Paso inductivo:

Supongamos que existe algún $k\in \mathbb{N}$ tal que

"Para cualquier subespacio $W_1,W_2,\dots,W_k\subseteq W$ tenemos la equivalencia:

$W=W_1\oplus W_2\oplus \dots \oplus W_k$ si $W=W_1+ W_2+ \dots + W_k$ y $W_i\cap(W_1+W_2+\dots+W_{i-1}+W_{i+1}+\dots+W_k)=\{0\}$ "

Entonces tu paso es demostrarlo:

"Para cualquier subespacio $W_1,W_2,\dots,W_{k+1}\subseteq W$ tenemos la equivalencia:

$W=W_1\oplus W_2\oplus \dots \oplus W_{k+1}$ si $W=W_1+ W_2+ \dots + W_{k+1}$ y $W_i\cap(W_1+W_2+\dots+W_{i-1}+W_{i+1}+\dots+W_{k+1})=\{0\}$ "