¿Cuál es la relación entre los logaritmos y la potencia zeroth, si es que hay alguna?

Question

Lo he notado en algunos casos, $\log(x)$ (con base $e$ ) parece "llenar el papel" de $x^0$ en situaciones en las que $x^0$ no crearía una respuesta sensata. He aquí algunos ejemplos de lo que estoy hablando:

La regla de la potencia para la integración

Cualquier estudiante de primer año de cálculo estará familiarizado con la regla de la potencia de integración, que establece: $$\int x^n \, dx = \frac1{n+1} x^{n+1}, n \ne -1$$ Esencialmente, la integración de $x^n$ tiene el efecto de incrementar la potencia de $x$ . Normalmente, siguiendo esta regla para $x^{-1}$ resultaría en $\frac10x^0$ pero hay un aspecto sospechoso $n \ne -1$ allí. Una pregunta natural que muchos estudiantes podrían hacer, entonces, sería cuál es la integral de $x^{-1}$ realmente es. Y por supuesto: $$\int x^{-1} \, dx = \log|x|$$ Así que, en cierto sentido, $\log(x)$ está "sustituyendo" $x^0$ en el contexto de la regla de poder.

La media generalizada

Tomado del artículo de la Wikipedia para el media generalizada :

Si $p$ es un número real distinto de cero, y $x_1,\dots,x_n$ son números reales positivos, entonces el media generalizada o potencia media con el exponente $p$ de estos números reales positivos es: $$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac{1}{p}}$$

Los casos específicos incluyen la media armónica ( $p = -1$ ), la media aritmética ( $p = 1$ ), y la media cuadrática ( $p = 2$ ). ¿Qué pasa con $p = 0$ ? Bueno, por desgracia, esto implicaría elevar cada punto de datos individual a la potencia cero (lo que aniquila los datos), sumarlos y elevarlos a la potencia infinita-ésima. En su lugar,

Para $p=0$ la fijamos igual a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes que se acercan a cero, como se demuestra más adelante): $$M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$$

Esto no parece estar inmediatamente relacionado con el logaritmo, pero es posible reformular un poco esta fórmula. $$M_0(x_1, \dots, x_n) = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log(x_i) \right)$$ Como puedes ver, $\log(x)$ surge en lugar de $x^0$ y $\exp(x)$ sustituye el exponente de $1/0$ .

Otros bits

Es cierto que esta conexión es mucho más tenue que las dos anteriores, pero he observado que $x^0$ y $\log(x)$ son ambos indefinidos en 0, y definidos en cualquier otro lugar, asumiendo que se permiten números complejos. Sin embargo, esto podría ser sólo una coincidencia, ya que lo mismo ocurre con las potencias negativas (aunque me pregunto si $\log(0)$ se define en el línea real extendida proyectivamente , donde las potencias negativas son definido; si no, eso podría significar un vínculo más fuerte con $0^0$ ).

La función logarítmica crecerá más lentamente que cualquier potencia finita positiva; por otro lado, la función exponencial crecerá más rápido que cualquier potencia finita positiva. Por lo tanto, si se "ordenan" las funciones logarítmica, exponencial y todas las potencias (positivas finitas) por la rapidez con que crecen, la función logarítmica se ordenaría en 0 y la función exponencial se ordenaría en el infinito.

Si quieres jugar con la relación $(x^p+y^p)^{1/p}$ He creado un Calculadora Desmos que traza esta relación con los números $a$ y $b$ junto con la media generalizada mostrada anteriormente. El eje horizontal es la potencia $p$ ; en $p=0$ esta "adición generalizada" diverge a $0$ de la dirección negativa y $\infty$ de la dirección positiva, mientras que la media generalizada se acerca a la media geométrica. De hecho, si se eliminara la raíz de la expresión, se obtendría $\exp(\log(a)+\log(b))$ que se simplifica en $ab$ .

En general, tengo la impresión de que $\log$ y $\exp$ actúan de forma análoga a la "potencia cero" y a una especie de "potencia infinita", y creo que he aportado algunas pruebas que apoyan esta intuición. ¿Existe alguna razón fundamental por la que el logaritmo tiende a sustituir a la potencia zeroth, o es sólo una coincidencia que he analizado en exceso?

Answer 1

Su declaración inicial $$\int x^n dx = \frac1{n+1} x^{n+1}, n \ne -1$$ esconde una serie de problemas.

• como una integral indefinida se podría añadir una constante de integración
• o bien se puede hacer una integral definida $\int_0^y x^n dx = \frac1{n+1} y^{n+1}$ pero eso sólo tiene sentido cuando $n \gt -1$ para evitar problemas en torno a $x=0$
• quieres considerar lo que sucede cuando $n=-1$ pero usted está hablando de la potencia zeroth

Un enfoque para resolver esto sería utilizar una integral definitiva manteniéndose bien lejos de $x=0$ y utilizar $m=n+1$ por ejemplo, considerando $$F(y,m)=\int_1^y x^{m-1} dx = \frac1{m} \left(y^{m}-1\right), m \ne 0$$ Tenga en cuenta que ambos $\frac1m$ y $y^m-1$ cambiar el signo como $m$ cambia de signo. Esta expresión hace que la cuestión con $m=0$ aún más descarnada: $\frac10(1-1)$ no es algo que quieras considerar, excepto quizás con la aplicación cuidadosa de límites

Si utilizas los límites, empieza a ser más claro. Por ejemplo $F(5,0.0001)\approx 1.609567434$ mientras que $F(5,-0.0001)\approx 1.609308405$ que están muy cerca de $\log_e(5)\approx 1.609437912$

En general $$\lim_{m \to 0} \frac1{m} \left(y^{m}-1\right)= \log_e(y)$$ para $y \gt 0$ y por lo tanto podría ser una definición razonable de $F(y,0)$ para dar continuidad a la $m$ . Esto no es lo mismo que decir $\log_e(x)$ parece desempeñar el papel de $x^0$

Answer 2

Escriba $\bar x = M_p(x_1,x_2,\ldots,x_n).$ Entonces para $p \neq 0,$ \begin{align} (\bar x)^p &= \frac1n \sum_{i=1}^n x_i^p,\\[.6ex] \frac{(\bar x)^p - 1}{p} &= \frac1n \sum_{i=1}^n \frac{x_i^p - 1}{p},\\[.6ex] \int_1^{\bar x} t^{p - 1} dt &= \frac1n \sum_{i=1}^n \int_1^{x_i} t^{p - 1}dt,\\ \end{align} por lo que quizás no sea tan sorprendente que $$\log\left(\lim_{p\to0} M_p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\right) = \frac1n \sum_{i=1}^n \log x_i,$$ ya que después de todo, $$\lim_{p\to0} \int_1^y t^{p - 1}dt = \lim_{p\to0} \frac{y^p - 1}{p} = \log y = \int_1^y t^{-1}dt.$$