Caracterización de soluciones al $f' = f(1-f)$

Question

La función sigmoidea $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ tiene la propiedad de que $$f'(x) = f(x)(1-f(x))~~~ and ~~~f(0) = \frac 12$$

Mi pregunta: es $f$ la única función de$\mathbb R$$(0,1)$, tal vez hasta algún tipo de escala, que satisface $f' = f(1-f)$?

Yo no tengo mucha experiencia con ecuaciones diferenciales de modo que una no lineal como este está más allá de todo lo que he hecho antes.

En caso de que ayuda, mi motivación es que esta propiedad hace que el registro de probabilidad mucho más fácil en una regresión logística, y me pregunto si suponiendo que la inversa de la función de enlace satisface esta propiedad es equivalente a sólo teniendo que ser $f$.

Answer 1

escribir la ecuación en la forma $$-\frac{\frac{df(x)}{dx}}{(f(x)-1)(f(x)}=1$$ y por la integración de $$-\int \frac{\frac{df(x)}{dx}}{(f(x)-1)f(x)}dx=\int 1dx$$ haciendo esto obtenemos $$-\log(-f(x)+1)+\log(f(x))=x+C$$

Answer 2

Tenga en cuenta que desde $f(0)=1/2$, $f\not\equiv 1$ $f\not\equiv 0$ por lo tanto, una solución no puede alcanzar un punto de equilibrio $$f'=f(1-f)\Longleftrightarrow\frac{f'}{f} +\frac{f'}{1-f} =1\Longleftrightarrow \ln (|f|)- \ln(|1-f|) =x+c$$

Pero, $f(x)\in (0,1)$ obtenemos $$ \ln (f)- \ln(1-f) =x+c\Longleftrightarrow \frac{f}{1-f} =ke^x \Longleftrightarrow f(x) =1-\frac{1}{1+ ke^x}$$

Estoy seguro de que usted puede el $k$ por ti mismo.

Answer 3

Espero que estos pueden ser útiles:
sol1

sol2

Ya que la solución de un problema de Cauchy es única en torno a cero, que es la única solución.