Calcular el dominio $f(x)=x^{\frac{x+1}{x+2}}$

Question

Tengo la siguiente función: $$f(x)=x^{\frac{x+1}{x+2}}$$ He intentado calcular el dominio, que parece fácil, y mi resultado es: $D(f)=(0,\infty)$ .

Cuando intenté calcularlo, utilizando Wolfram-Alpha, obtuve: $D(f)=[0,\infty)$ .

¿Puede alguien explicarme la razón, o si es sólo un error de Wolfram?

---

Procedo de esta manera: $$f(x)=x^{\frac{x+1}{x+2}} = e^{\frac{x+1}{x+2} \log(x)}$$ $$ \left\{ \begin{array}{c} x+2\ne0 \ \Rightarrow\ x\ne -2 \\ x>0 \end{array} \right. $$ Por lo tanto: $D(f)=(0,\infty)$ .

Answer 1

El problema está en la primera línea de tu prueba. Las funciones $log$ y $e$ son inversas entre sí, pero no están definidas en toda la recta real. $$ log : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} $$ $$ e : \mathbb{R} \rightarrow (0 , \infty) $$ y por lo tanto sólo es cierto que, $$ e(\log(x)) = x \mbox{ , }\forall x \in (0, \infty) $$

La función $f$ puede definirse en cero, y también en $-1$ , $$ f(-1) = (-1)^{\frac{(-1)+1}{(-1) + 2}} = (-1)^{0} = 1$$

Answer 2

Se puede escribir la función en forma exponencial sólo si $f(x) >0$ Por ejemplo, considere que $x=e^{\ln x} $ sólo cuando $x>0$

Answer 3

Sin embargo, si introduce $f(0)$ en su función, devuelve $0$ Y no hay ningún problema con esto.

$$f(0)=0^{\frac{0+1}{0+2}}=f(0)=0^{\frac{1}{2}}=0$$

Answer 4

Creo que Wolfram se equivoca y tú tienes razón.

Si escribimos $(f(x))^{g(x)}$ entonces el dominio es $$D(g)\cap\{x|f(x)>0\},$$ donde $d(g)$ es el dominio de $g$ .

Creo que es mejor definir de tal manera que incluso $0^{\frac{1}{2}}$ no existe, pero $\sqrt0=0.$

Answer 5

La funcionalidad de dominio y rango en WolframAlpha fue diseñada específicamente para responder a las preguntas de los estudiantes de álgebra, precálculo y cálculo. En ese contexto, la convención de que $0^{1/2}=0$ es bastante razonable. Como es de esperar, también es completamente consistente con la forma en que Mathematica trata las cosas. Por ejemplo:

In[1]:= Log[0]
Out[1]= -Infinity

In[2]:= Exp[-Infinity]
Out[2]= 0

Ahora, como otros han argumentado, hay otras formas razonables de interpretar $0^{1/2}$ y eso está bien. Sin embargo, si tu objetivo es entender la respuesta de WolframAlpha, entonces es una simple cuestión de elección de diseño.