Estoy intentando calcular este límite $\lim_{(x,y) \to (0,0)}2x\sin^2(\frac{1}{y})$, pero WolframAlpha dice que no existe.
No estoy muy seguro de por qué. Entiendo que hay oscilaciones provenientes de $\sin(1/y)$. Sin embargo, $x \to 0$ también. ¿No debería eso hacer que la función tienda a cero?
Además, sé que $\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$. ¿No es esa prácticamente la misma idea que el límite en cuestión?
Es igual a $0$ según Wolfram alpha.
El dominio de la función debería excluir el eje $x$, es decir, el dominio $D = \{ (x,y) : y \neq 0\}$.
Tomemos $\epsilon > 0$, elegimos $\delta = \frac{\epsilon}2$, si $(x,y) \in D$ y $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} < \delta$
entonces
$$ \left|2x\sin^2 \left( \frac1y\right)-0\right| = \left|2x\sin^2 \left( \frac1y\right)\right|\leq 2|x| \leq 2 \delta < \epsilon.$$
@user1691278 ¡No lo hace! El límite está definido siempre y cuando $y\neq0$. La desigualdad que Asim90 escribe ya no se cumple en este caso: Dígamos que $y = 0$. Entonces $1/y$ es indefinido, por lo que $2x\sin^2(1/y)$ es indefinido, por lo que no conocemos su relación con la parte derecha de la igualdad. Esto tiene que ver con el dominio de $\sin(x)$. Piénsalo de esta manera: ¿Tiene sentido la desigualdad $|\sin(\{mono\})|\leq1$? Si eso no tiene sentido, entonces seguramente $|\sin(\{Indefinido\})|\leq1$ no tiene sentido.
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La función no está definida en el eje $x$. Si no te preocupa eso, entonces $|f(x,y)|\le 2|x|$ y tiende a cero, como dices. Con Wolfie A obtienes lo que pagas.
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¿Por qué no está definido en el eje x?
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@LordSharktheUnknown Veo a qué te refieres. ¿Cómo puedo dejar de preocuparme por eso?
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No está definido en el eje $x$ porque en el eje $x$, $y=0$.
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@MitchellFaas ¿Entonces estás diciendo que cuando el límite se acerca desde el eje $y$ a cero primero, ¿es indefinido?
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@user1691278 No, eso estaría definido. La línea que yace exactamente sobre el eje $x$, y solo esa línea es indefinida. Así que si forzamos $y=0$, las cosas no funcionan. Si no te importa ese camino en particular, entonces el límite sí existe. Es decir, el límite es $0$ para cada camino excepto el que se encuentra en el eje $x`.
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@MitchellFaas ¿Cómo podemos forzar $y = 0$? ¿Estamos calculando el límite cuando $(x, y) \to (0, 0)$? Pensé que estaba totalmente bien que la función no esté definida en $y = 0, ¿no es por eso que estamos calculando el límite en primer lugar?
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@user1691278 En el caso de 1-D esto es en efecto lo que sucede, pero trata de pensar en términos de distancias y puntos. En el espacio 1-D: Supongamos que elegimos un punto $p$ (en este caso $0$) y una variable $x$. Queremos calcular el límite cuando la distancia $d(p,x)$ entre $p$ y $x$ tiende a $0$ (pero no lo alcanza realmente). En el espacio 2-D hacemos lo mismo: Elegimos un punto $p, ((0,0))$ en este caso) y calculamos el límite cuando $d((0,0),(x,y))$ tiende a $0$. Pero si elegimos $x=1, y=0$ todavía tenemos una distancia no nula: $d((0,0), (1,0)) = 1$. Entonces podemos forzar $y=0$ y aún así calcular el límite.
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@MitchellFaas ¡Explicación brillante!
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Como nota al margen: Dado que solo nos importa la distancia, puedes tomar cualquier camino (no tiene que ser una línea recta, sino que también podría ser una espiral, por ejemplo).