Cuando la dimensión del punto fijo de conjunto de una isometría definido?

Question

La versión muy resumida

Para cualquier isometría $\sigma$, el punto fijo set $\text{Fix}(\sigma)$ es una unión de submanifolds. Cuando es la dimensión bien definida?

La versión larga

En la siguiente, vamos a $M$ siempre ser un colector de Riemann. La cita se ha modificado ligeramente para mantener la coherencia.

Lo que he encontrado en la literatura

En Klingenberg [1] podemos leer

1.10.15 Teorema. Deje $\sigma\colon M \to M$ ser una isometría. A continuación, cada componente conectado de punto fijo definido $\text{Fix}(\sigma) := \{p \in M : \sigma(p) = p\}$ es totalmente una geodésica submanifold.

y Kobayashi [2] escribe

Teorema 5.1. Deje $\mathfrak S$ ser cualquier conjunto de isometrías de $M$. Deje $\text{Fix}(\mathfrak S)$ ser el conjunto de puntos de $M$ los que se quedan fijos por todos los elementos de a $\mathfrak S$. A continuación, cada componente de $\text{Fix}(\mathfrak S)$ es un cerrado totalmente geodésica submanifold de $M$.

El último es al menos tan fuerte como el primero, por supuesto. El único ejemplo concreto es dada en Klingenberg y parece ser sólo un reflejo de la $n$-esfera, donde podemos ver fácilmente los componentes a ser de idénticas dimensiones. Tampoco menciona explícitamente la posibilidad de que los componentes de diferentes dimensiones.

Sin embargo, Donnelly y Patodi [3][4] write (el énfasis es mío)

Deje $M$ ser un compacto de Riemann colector de dimensión d y $\sigma\colon M \to M$ una isometría [...]. $\text{Fix}(\sigma)$ es distinto de la unión de cerrado conectado submanifolds $N$ de la dimensión de $n$.

Esto me dio la esperanza que en el caso compacto de todos los componentes conectados tenía la misma dimensión, pero, más tarde, en [5] se escribe

Deje $\sigma$ ser una isometría del pacto de Riemann colector $M$. El punto fijo conjunto de $\sigma$ es distinto de la unión de compactos conectado totalmente geodésica submanifolds $N$.

y como lo que yo puedo decir, sólo el uso de $n$ tan pronto como $N$ es fijo, así que estoy suponiendo que yo overinterpreted implícita una dependencia de $n$$N$.

Lo que me gustaría saber

Mi pregunta es fácilmente formulada de tres:

• ¿Cuáles son los ejemplos donde los componentes de tales conjuntos de punto fijo tienen diferentes dimensiones?
• ¿Qué condiciones puede ser necesario de $\mathfrak S \subseteq \text{Aut}(M)$ / $\sigma \in \text{Aut}(M)$ tal que $\text{Fix}(\mathfrak S)$ / $\text{Fix}(\sigma)$ es de dimensión uniforme?
• ¿Qué condiciones pueden ser colocados en $M$ tal que $\text{Fix}(\mathfrak S)$ / $\text{Fix}(\sigma)$ tiene una dimensión definida para todos $\mathfrak S$ / $\sigma$?

En el final, Me gustaría tener como mucho de una fuerte separación entre los casos como es posible. Las preguntas, sobre todo frente a este mismo problema desde diferentes direcciones.

Lo que es trivial

El siguiente repetidamente llevó a la confusión, así que yo estoy diciendo en estos momentos:

• Sí, si $M$ no está conectado, contraejemplos son triviales. Sólo estoy interesado en el caso de que $M$ está conectado.
• Sí, si $\text{Fix}(\mathfrak S)$ está conectado, también, la dimensión es bien definida por el argumento estándar.
• No, los puntos fijos no están siempre conectados. Pensar en una reflexión de la 1-esfera o una rotación de la 2-esfera.

Lo que hemos descubierto

Probablemente estoy olvidando de algo pero aquí es lo que más sabemos:

• Todos los ejemplos que sabemos y la mayoría de las cosas que se nos ocurrió fue muy simétrica. Esto podría explicar por qué no hemos podido encontrar contraejemplos.
• Isometrías revisión geodesics entre puntos fijos mientras el geodesics son únicos por su longitud. Esto muestra, por ejemplo que en el ámbito la única manera de obtener una desconectado punto fijo definido es por ello que constará de dos antipodal puntos sólo.

Enlaces

[1]: Wilhelm Klingenberg, La Geometría De Riemann. Página 95 en Google Libros.

[2]: Shoshichi Kobayashi, la Transformación de los Grupos en la Geometría Diferencial. Hace referencia al Conjunto de Puntos Fijos de una Isometría.

[3]: Harold Donnelly, Espectro y punto fijo grupos de isometrías. Yo. Directamente en el principio.

[4]: Harold Donnelly y V. K. Patodi, Espectro y punto fijo grupos de isometrías-II. Directamente en el principio.

[5]: En [4]. En el comienzo de §2.

Answer 1

Para un ejemplo de variable dimensión de la fijo-punto de ajuste, tome $M=RP^2$ (con una curvatura constante métrica) y $\sigma$ un isométrico de la reflexión. (La proyección de una reflexión sobre la $S^2$.) A continuación, $Fix(\sigma)$ es un discontinuo de la unión de un punto y una línea proyectiva. Usted puede obtener más ejemplos como este en dimensiones superiores. No estoy seguro sobre el resto de sus preguntas.

Edit: Si $\sigma$ es una isometría de un 2-dimensional orientable conectado de Riemann colector, a continuación, $Fix(\sigma)$ constante de la dimensión. La razón es que cerca de un aislado de punto fijo, $\sigma$ a preservar la orientación y cerca de un no-aislado de punto fijo $\sigma$ tendría que invertir la orientación. Pero un homeomorphism de un conectada orientado colector no puede preservar y orientación inversa.

Trabajando un poco más de uno puede mostrar lo siguiente: Para cada $n$ existe un $n$-dimensiones conectado compacto de Riemann colector $M$ y una isometría $\sigma: M\to M$ cuyo punto fijo set contiene componentes de todas las posibles dimensiones: $0, 1, 2,..., n-1$.

Aquí es una construcción. Primero de todo, vamos a $M_0,...,M_{n-1}$ ser compacta conectada $n$-dimensiones de los colectores equipado con involuciones $\sigma_0,...,\sigma_{n-1}$ tal que $dim(Fix(\sigma_i))=i$. Además, para cada una de las $i$ puntos de recogida $x_i, y_i\in M_i- Fix(\sigma_i)$ y establezca $x_i':= \sigma_i(x_i), y_i':= \sigma_i(y_i)$. Estoy asumiendo que estas decisiones son de carácter genérico, de manera que para cada $i$ todos los cuatro puntos de $x_i, x_i', y_i, y_i'$ son distintos. Ahora, la forma de conexión del colector $M$ mediante la realización de una generalizada conectado suma a lo largo de pequeñas bolas disjuntas $B_i, B_i', C_i, C_i'$ centrado en los puntos $x_i, x_i', y_i, y_i'$, $i=0,...,n-1$, de modo que $\sigma_i(B_i)=C_i, \sigma(B_i')=C_i'$.

Es decir, eliminar todas estas pelotas de distinto unión $$ \coprod_i M_i $$ ("la perforación de cada una de las $M_i$"), y realizar el encolado a través de diffeomorphisms $$ f_i: \partial C_i\\parcial B_{i+1}, \partial f_i': C_i'\a \partial B_{i+1}', $$ $i=0, 1,....$. Elija estos diffeomorphisms para que $$ \sigma_{i+1}\circ f_i= f_i'\circ \sigma_i, i=0, 1,.... $$ El resultado de este encolado es un suave conectado el colector $M$ equipada con un diffeomorphic involución $\sigma$ (cuya restricción a cada perforado $M_i$ es igual a $\sigma_i$). Por último, poner un $\sigma$-invariantes de Riemann métrica en $M$.