Para qué valor de la siguiente serie converge a?

Question

Me pide que la suma de la serie $$1+\frac1{2}+\frac1{3}+\frac1{4}+\frac1{6}+\frac1{8}+\frac1{9}+\frac1{12}+\cdots$$ donde los términos son los recíprocos de todos los enteros positivos cuya única factores primos son dos y de tres en tres. Lo que he intentado hasta ahora es:

$$\frac1{2^03^0}+\frac1{2^13^0}+\frac1{2^03^1}+\frac1{2^23^0}+\frac1{2^13^1}+\frac1{2^33^0}+\frac1{2^03^2}+\frac1{2^23^1}+\cdot\cdot\cdot$$ El equence es de la forma: $$\frac1{2^n3^m}$$ pero, ¿qué hago saber? Estoy atascado!

Answer 1

Su serie es$$\left(1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots\right)\times\left(1+\frac13+\frac1{3^2}+\frac1{3^3}+\cdots\right).$$Therefore, its sum is$$2\times\frac32=3.$$