Esta pregunta probablemente se parecen bastante tonto para aquellos versados en la geometría algebraica (sobre los que no es cierto que apenas se sabe nada); en el prefacio de Atiyah-Macdonald, el libro de álgebra conmutativa se menciona que uno debe tomar un curso de álgebra homológica si uno "desea proseguir con la geometría algebraica en profundidad". Me pregunto qué partes de álgebra homológica se utilizan principalmente en la geometría algebraica; de hecho yo sé algo acerca de álgebra homológica y yo estaría muy agradecido si alguien pudiera señalar los métodos utilizados en la geometría algebraica, y el papel que ellos juegan en el desarrollo de la teoría. Estoy particularmente interesado en categorías derivadas y la derivada de la categoría de enfoque derivado de functors (en contraste con la definición clásica); al parecer, estos conceptos fueron de alguna manera, motivado por los avances en la AG.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me imagino que uno podría escribir libros sobre el tema, pero probablemente el primer momento en que uno se encuentra homológica de álgebra en la geometría algebraica es la siguiente.
Si $f: X\to Y$ es un buen mapa de variedades, entonces se da una coherente gavilla $\mathcal{F}$ $Y$ uno puede formar el pull-back $f^{*} \mathcal{F}$. Ahora, el pull-back functor $f^{*}: \mathcal{C}oh(Y) \rightarrow \mathcal{C}oh(X)$ es la frecuencia exacta (en virtud de un técnico de la asunción de planitud) y por lo que uno tiene cierto control sobre él, incluso sin álgebra homológica.
Sin embargo, dada una coherente gavilla $\mathcal{G}$$X$, también se puede empujar hacia adelante para obtener el $f_{*} \mathcal{G}$. En particular, el functor $f_{*}$ no ser exacta (sólo le queda exacto) y su derecho derivado de functors son de crucial importancia.
Ya se caso muy interesante que se da por tomar $Y$ a un punto. A continuación,$f_{*} = \Gamma$, el global secciones functor y sus derivados functors se llaman gavilla cohomology, que se denota por a $H^{i}$. Estos espacios vectoriales son importantes en su propio derecho y que resultan ser finito-dimensional si $X$ es proyectiva. Por lo tanto, su dimensión es una poderosa numérico invariante de la coherente gavilla $\mathcal{G}$ y, por extensión, de las $X$.
Sin embargo, la habitual receta para calcular $H^{i}$ (resolver su gavilla por inyectiva poleas) es casi inútil en la práctica, como inyectiva poleas son muy complicados bestias. No resulta ser otro, de manera muy directa para calcular $H^{i}$ utilizando los denominados $\check{C}$ech cohomology. Uno necesita una cantidad considerable de (lo admito, no muy profundo, pero eso depende de con quién está hablando...) álgebra homológica para probar que estas muy computable $\check{C}$ech cohomology grupos de acuerdo con la derivada functors de $\Gamma$, la cual tiene excelentes propiedades formales. Todo esto está muy bien explicado en el libro de texto estándar por R. Hartshorne.
