Dado $\triangle ABC$ con $\angle C = 60^\circ$ , mostrar $a^2+b^2-ab=c^2$ sin trigonometría

Question

Tengo el siguiente problema:

En $\triangle ABC$ el ángulo en el vértice $C$ es $60^{\circ}$ . Demostrar que $a^2+b^2-ab=c^2$ .

Por supuesto, es fácil si se utiliza la regla del coseno. Creo que también existe una bonita demostración sin usar la trigonometría. ¿Alguien sabe?

Answer 1

Sin usar la trigonometría, podemos usar el teorema de Stewart.

Construimos un triángulo equilátero como se muestra en la figura adjunta por lo que tenemos

$$b^2(a-b)+c^2b=ab(a-b)+b^2a$$ que es equivalente a la dada $$a^2+b^2-ab=c^2$$

Answer 2

Dejemos que $a\leq b$ y $BD$ sea una altitud del triángulo.

Por lo tanto, ya que $$\measuredangle A\leq\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ},$$ vemos que $D$ se coloca entre $A$ y $C$ .

Por lo tanto, $DC=\frac{a}{2}$ , $AD=b-\frac{a}{2}$ , $BD=\frac{\sqrt3a}{2}$ y por Pitágoras obtenemos: $$c^2=\left(b-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3a}{2}\right)^2=a^2-ab+b^2.$$

Answer 3

Aquí hay una prueba usando Teorema de Ptolomeo :

$$\begin{align} |\overline{AB}| |\overline{A^\prime B^\prime}| &= |\overline{AA^\prime}||\overline{BB^\prime}|+|\overline{AB^\prime}||\overline{A^\prime B}| \tag{1} \\[4pt] c^2 &= a b + ( a - b )^2 \tag{2} \\[4pt] &= a^2 + b^2 - a b \tag{3} \end{align}$$

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Por cierto, la entrada de Wikipedia menciona que se puede utilizar a Ptolomeo para demostrar la Ley de los Cosenos en general. Sin embargo, la descripción allí no es tan clara como podría ser. Lo único que hay que hacer es observar que, en general, es así, $$|\overline{AA^\prime}| = 2b\sin\frac{C}{2} \qquad |\overline{BB^\prime}| = 2a\sin\frac{C}{2} \tag{4}$$ para que la contraparte de $(2)$ es $$c^2 = 4ab\sin^2\frac{C}{2} + ( a - b )^2 \tag{5}$$ y tenemos $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \left( 1 - 2\sin^2\frac{C}{2} \right) = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C \tag{6}$$

Answer 4

Caída perpendicular de $C$ en $AB$ y llamamos pie de perpendicular como $D$ . Entonces usando el teorema de Pitágoras, $$AD^2 + DC^2 = b^2 \tag{1}$$ $$DC^2 + DB^2 = a^2\tag{2}$$ y de lado $c$ $$AD + DB = c \tag{3}$$

Por último, necesitamos una relación que provenga del ángulo $A$ ser $60^\circ$ . Consideremos el triángulo $ADC.$ Hacer un punto medio $E$ en $AC$ y unirse a $ED$ . Por lo tanto, de lo que Arnaldo mostró, podemos mostrar $$AD = \frac{b}{2}\tag{4}$$

Así que tienes que eliminar entre estas ecuaciones.

Answer 5

Sugerencia

Utilizando la imagen se obtiene $q=p$ .

Ahora piensa en la siguiente imagen: