Dividir un polinomio por otro

Question

Cómo se hace esto? Por ejemplo, ¿cómo se podía simplificar la siguiente?

$$\frac{x^3-12x^2+0x-42}{x^2-2x+1}$$

Puedo hacerlo con la división larga, pero nunca lo hace intuitivo sentido para mí. Una explicación de la larga algoritmo de la división o una nueva forma de resolver esto sería muy apreciada.

Answer 1

Primer paso: Por que monomio debe multiplicar $x^2-2x+1$ con el fin de obtener algún polinomio con el mismo coeficiente inicial como $x^3-12x^2-42$? Eso es fácil: $x$. Por lo tanto, ahora que usted hace$$x^3-12x^2-42-x\times(x^2-2x+1)=-10x^2-x-42.$$Now, the same question: By which monomial should you multiply $x^2-2x+1$ in order to get some polynomial with the same leading coefficient as $-10x^2-x-42$? Now, the answer is $-10$. So, now you do$$-10x^2-x-42-(-10)\times(x^2-2x+1)=-21x-32.$$Now the degree is less than the degree of $x^2-2x+1$ and therefore there's nothing else to do: the quotient is $x 10$ and the remainder is $-21x-32$.

Answer 2

El largo algoritmo de la división es una manera de tomar el numerador, y que se dividió en múltiplos del denominador, separados de aquellos en sus propias fracciones, y lejos de simplificar el denominador. Por ejemplo, tenemos $x(x^2 - 2x+1) = x^3-2x^2+x$, por lo que $$ \frac{x^3 - 12x^2 + 0x-42}{x^2-2x+1} = \frac{(x^3-2x+x) - 10x^2 - 1x-42}{x^2-2x+1}\\ = \frac{x(x^2-2x+1)}{x^2-2x+1} + \frac{-10x^2-1x-42}{x^2-2x+1}\\ = x + \frac{-10x^2-1x-42}{x^2-2x+1} $$ Así que ahora que hemos conseguido una $x$, y estamos a la izquierda con una nueva fracción en donde el grado del numerador se ha reducido en 1, en comparación a donde empezamos. Podemos seguir adelante, siempre y cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, que en este caso significa un paso más. Esta vez, vemos que $-10(x^2-2x+1) = -10x^2+20x-10$, por lo que $$ \frac{-10x^2-1x-42}{x^2-2x+1} = \frac{(-10x^2+20x - 10) -21x-32}{x^2-2x+1}\\ = -10 + \frac{-21x-32}{x^2-2x+1} $$ En este punto, el algoritmo se detiene, y nos quedamos con $$ \frac{x^3 - 12x^2 + 0x-42}{x^2-2x+1} = x + \frac{-10x^2-1x-42}{x^2-2x+1} = x -10 + \frac{-21x-32}{x^2-2x+1} $$ Este es exactamente el largo algoritmo de la división, escrito con regular fracción de notación. Si haces la división larga algoritmo de la manera normal, usted va a reconocer los diferentes numeradores en todos lados, pero esa técnica está diseñado para la facilidad de cálculo, no de la transparencia. Así que es difícil saber lo que realmente está pasando, a menos que usted ya sabe.

Answer 3

$$x^3-12x^2-42=x^3-2x^2+x-10x^2+20x-10-21x-32=$$ $$=(x-10)(x-1)^2-21x-32,$$ que dice

$$\frac{x^3-12x^2-42}{(x-1)^2}=x-10+\frac{-21x-32}{(x-1)^2}.$$