Este es bastante divertido. Permítanme compartir algunos de razonamiento (no una respuesta todavía!), que creo que podría ser útil.
En primer lugar, vamos a reescribir la educación a distancia de la desigualdad en formas equivalentes:
$$r\left(g''+\frac{g'}{x}\right)\geq g'^2$$
$$g''- \frac{g'^2}{r}+\frac{g'}{x} \geq 0$$
$$g''e^{-g/r}- \frac{g'^2}{r} e^{-g/r}+\frac{g'}{x} e^{-g/r} \geq 0 $$
La introducción de una nueva función:
$$f(x)=e^{-g(x)/r}$$
Obtenemos una desigualdad:
$$x f''+f' \leq 0$$
O (proporcionado $f' > 0$$x \in (0,1)$):
$$( \ln f' )' \leq - \frac{1}{x}$$
No está seguro de cómo esto podría ser útil todavía, pero vamos a ver.
Ahora podemos jugar con (*). Nuestra desigualdad se convierte en:
$$\left( \int_0^1 f^r xdx \right) \left( \int_0^1 f^{-r} xdx \right) \leq \frac{1}{4(1-r)}$$
El cambio de la variable ficticia en la segunda integral hemos expresión equivalente:
$$ \int_0^1 \int_0^1 f(x)^r f(y)^{-r} xy~dxdy \leq \frac{1}{4(1-r)}$$
Introducción:
$$u(x,y)=\ln f(x) - \ln f(y)$$
Tenemos:
$$ \int_0^1 \int_0^1 e^{u(x,y)r} xy~dxdy \leq \frac{1}{4(1-r)}$$
Ampliar ambos lados como serie de Taylor en $r$ (desde $ r \in (0,1)$ la serie geométrica converge):
$$\int_0^1 \int_0^1 \left(1+ur+\frac{u^2r^2}{2}+\dots+\frac{u^nr^n}{n!}+\dots \right) xy~dxdy \leq \frac{1}{4} \left(1+r+r^2+\dots +r^n+\dots \right)$$
Aunque no es necesario, es suficiente si cada término de la izquierda es $\leq$ de cada término en el derecho de los respectivos poderes de $r$. Esto podría ser utilizado como prueba, en caso de que se convierte seguimiento de la educación a distancia de la desigualdad. (Esta parte es ahora obsoleto, puesto que esta condición es, de hecho, demasiado fuerte, consulte Actualización 2 para más detalles).
Primeros términos son iguales:
$$\int_0^1 \int_0^1 x y dx dy=\frac{1}{4}$$
Para los otros términos se supone que vamos a utilizar alguna de la educación a distancia de la desigualdad a mostrar:
$$I_n=\int_0^1 \int_0^1 \left(\ln f(x)-\ln f(y) \right)^n x y ~dx dy \leq \frac{n!}{4} \tag{1}$$
Lo curioso es $r$ tipo de desaparecido desde el planteamiento del problema (siempre y cuando podamos demostrar la desigualdad por el plazo en el caso general).
Actualización
Vamos a considerar (1) al $n$ es impar. Es muy claro que:
$$I_{2k+1}=\int_0^1 \int_0^1 \left(\ln f(x)-\ln f(y) \right)^{2k+1} x y ~dx dy =0, \qquad k \in \mathbb{N}$$
Prueba. Vamos a introducir una función de $\ln f(x)=h(x)$:
$$I_{2k+1}=\int_0^1 \int_0^1 \left(h(x)-h(y) \right) \left(h(x)-h(y) \right)^{2k} x y ~dx dy =$$
$$=\int_0^1 \int_0^1 h(x) \left(h(x)-h(y) \right)^{2k} x y ~dx dy-\int_0^1 \int_0^1 h(y) \left(h(x)-h(y) \right)^{2k} x y ~dx dy$$
Pero ambas integrales son los mismos, ya que siempre puede cambiar la variable ficticia. Por lo tanto:
$$I_{2k+1}=I-I=0$$
Lo que significa que sólo tiene que probar incluso en el caso de (1):
$$I_{2k}=\int_0^1 \int_0^1 \left(\ln f(x)-\ln f(y) \right)^{2k} x y ~dx dy \leq \frac{(2k)!}{4} \tag{2}$$
La cual puede escribirse como:
$$\sum_{l=0}^{2k} \frac{(-1)^l}{(2k-l)!l!} \int_0^1 h(x)^{2k-l} x~dx \int_0^1 h(y)^l y ~ dy \leq \frac{1}{4}$$
Actualización 2
A partir de un comentario por Binjiu a continuación, es evidente que requrements $(1)$ $(2)$ son demasiado fuertes, y que no son verdad para el ejemplo de la OP (como puedan ser verificados directamente por $k=1$).
Todavía estoy dejando que parte del post intacto, como muestra el camino que no puede ir.
Ahora bien, el problema podría ser reformulada en otra forma (donde se incluyen los términos raros desde el lado derecho):
Probar que si para $f:\left(0,1\right)\rightarrow\mathbb{R}$ la desigualdad de $x f''+f' \leq 0$ tiene para todos los $x \in (0,1)$ existe $r \in (0,1)$ tal forma que:
$$\int_0^1 \int_0^1 \left(\ln f(x)-\ln f(y) \right)^{2k} x y ~dx dy \leq \frac{(2k)!}{4} \left(1+r \right) \tag{3}$$
