Gráfico colorear problema en Z3

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Tratando de demostrar que para cada $k$ no es un número entero $n=n(k)$, de modo que para cualquier colorante de la set $\mathbb Z_3^n$ de todos los $n$-dimensional con los vectores de coordenadas en $\mathbb Z_3$ $k$ colores, hay tres diferentes vectores $X$, $Y$, $Z$ tener el mismo color para que $X_i+Y_i+Z_i\equiv 0 \pmod 3$ todos los $1 \le i \le n$.

Creo que es necesario el uso de SCHUR prueba de una manera diferente, pero no sé exactamente cómo determinar el color de la función. Cualquier ayuda será apreciada. Muchas gracias!

Answer 1

Ya estamos trabajando modulo $3$, $x+y+z=0$ es lo mismo que $x+y=2z$, lo que sucede si y sólo si tenemos una progresión aritmética de longitud $3$. (Específicamente, $x,z,y$ forman una progresión desde $z-x=y-z$, y todas las progresiones de longitud tres dan lugar a una ecuación.)

Meshulam del teorema nos dice que si $A\subset \mathbb{F}_3^n$ no contiene plazo de tres progresiones aritméticas, a continuación, $|A|\ll \frac{N}{\log N}$ donde $N=3^n$ es el tamaño del conjunto $\mathbb{F}_3^n$. Esta intervención puede ser demostrado el uso de algunos análisis de Fourier, y se supone van der Waerden del Teorema, la declaración en su pregunta.

Me puede dar algunos detalles más si esto le interesa. La prueba de Meshulam no es largo, pero se alarga considerablemente, si las transformadas de Fourier deben ser definidos y se introdujo.