¿Cómo se define la distribución compleja $1/z$ ?

Question

He leído la siguiente fórmula en un libro de mecánica cuántica, supuestamente atribuida a Dirac $$ \lim_{y\,\searrow\, 0} \frac 1 {x+iy} = \operatorname{p.v.} \left(\frac 1 x\right) - i \pi\delta (x)$$ ¿Podría alguien aclarar cómo debe leerse (o derivarse) esta fórmula? ¿Es análoga al caso real, en el que integramos contra una función de prueba? ¿Cómo debe tomarse esta integral, como una integral de área sobre el plano complejo o como algún tipo de integral de contorno?

Agradecería cualquier buena referencia sobre la teoría de la distribución compleja desde un punto de vista matemático. Aprendí la teoría de la distribución real con el libro de Friedlanders.

Answer 1

Dejemos que $\phi(x)$ sea una función de prueba adecuada ( $\phi(x)\in C^\infty$ y tiene un soporte compacto en $(-\infty,\infty)$ ).

Entonces, escribe

$$\begin{align} \lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{1}{x+iy}\,dx&=\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{x-iy}{x^2+y^2}\,dx\\\\ &=\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx-i\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{y}{x^2+y^2} \,dx\\\\ \end{align}$$

---

Para evaluar el primer límite, $\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx$ primero escribimos $$\begin{align}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx&=\int_{-\infty}^{-\epsilon}\phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\\\\&+\int_{-\epsilon}^\epsilon \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\\\\&+\int_{\epsilon}^\infty \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\tag 1\end{align}$$ En la medida en que $\phi$ es de soporte compacto y $\phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}$ es continua, tenemos los límites $$\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^{-\epsilon} \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx=\int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\phi(x)}{x}\,dx \tag2$$ y $$\lim_{y\to 0^+}\int_{\epsilon}^\infty \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx=\int_{\epsilon}^\infty \frac{\phi(x)}{x}\,dx\tag3$$ A continuación, utilizamos el teorema de Taylor para escribir $\phi(x)=\phi(0)+\phi'(0)x+o(x)$ para $x\in [-\epsilon,\epsilon]$ .entonces, $$\begin{align}\int_{-\epsilon}^\epsilon \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx&=\color{red}{\int_{-\epsilon}^\epsilon \phi(0)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx}+\color{blue}{\int_{-\epsilon}^\epsilon \phi'(0)\frac{x^2}{x^2+y^2}\,dx}+\color{orange}{\int_{-\epsilon}^\epsilon \frac{o(x^2)}{x^2+y^2}\,dx}\\\\ &=\color{red}{0}+\color{blue}{\phi'(0)\left(2\epsilon +2y\arctan\left(\frac{\epsilon}{y}\right)\right)}+\color{orange}{o(\epsilon)}\tag 4 \end{align}$$ Dejar $y\to 0^+$ en $(4)$ obtenemos $$\lim_{y\to 0^+}\int_{-\epsilon}^\epsilon \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx=2\phi'(0)\epsilon+o(\epsilon) \tag5 $$ Finalmente usando $(2)-(5)$ y dejar que $\epsilon\to 0^+$ rinde $$\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{x}{x^2+y^2}\,dx=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\phi(x)}{x}\,dx +\int_{\epsilon}^\infty \frac{\phi(x)}{x}\,dx \right)\equiv \text{PV}\left(\int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x)}{x}\,dx\right)$$

¡como se iba a mostrar!

---

Para evaluar el segundo límite, $\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{y}{x^2+y^2} \,dx$ escribimos

$$\begin{align} \lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{y}{x^2+y^2} \,dx&=\lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(yx)\frac{1}{x^2+1} \,dx\tag6 \end{align}$$

por lo que aplicando el Teorema de Convergencia Dominada a $(6)$ da el codiciado resultado

$$\begin{align} \lim_{y\to 0^+}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\frac{y}{x^2+y^2} \,dx&=\int_{-\infty}^\infty \lim_{y\to 0^+}\left(\phi(yx)\right)\frac{1}{x^2+1} \,dx\\\\ &=\phi(0)\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx\\\\ &=\pi \phi(0) \end{align}$$

¡como se esperaba!

---

¡Y ya está!

Answer 2

$\text{pv}.(\frac{1}{x})$ se entiende fácilmente como la derivada distributiva de $\log |x|$ lo que significa que para cualquier $\phi \in C^\infty$ con $\phi,\phi'$ disminuyendo más rápido que $1/x^2$ : $$\int_{-\infty}^\infty \phi(x) \text{pv}.(\frac{1}{x}) dx = -\int_{-\infty}^\infty \phi'(x) \log |x| dx$$ Ahora $$\log |x| = \log x- i \pi 1_{x < 0}= \lim_{y \to 0^+}\log (x+iy)- i \pi 1_{x < 0}$$ donde la convergencia es en $L^1_{loc}$ . Por lo tanto, como las distribuciones $$\boxed{\text{pv}.(\frac{1}{x}) = \frac{d}{dx}\log |x| = \lim_{y \to 0^+} \frac{d}{dx}(\log (x+iy)- i \pi 1_{x < 0})= i \pi \delta(x)+\lim_{y \to 0^+}\frac{1}{x+iy}}$$