Prueba de Producto de la Regla de Derivados del uso de la Prueba por Inducción

Question

Estoy tratando de entender la prueba de que el Resultado General para el Producto de la Regla de los Derivados de la lectura de este.

Las partes pertinentes son como sigue:

Base para la inducción $$ D_x \left({f_1 \left({x}\right) f_2 \left({x}\right)}\right) = D_x \left({f_1 \left({x}\right)}\right) f_2 \left({x}\right) + f_1 \left({x}\right) D_x \left({f_2 \left({x}\right)}\right) $$

Hipótesis De Inducción $$ D_x \left({\prod_{i=1}^k f_i \left({x}\right)}\right) = \sum_{i=1}^k \left({D_x \left({f_i \left({x}\right)}\right) \prod_{j \ne i} f_i \left({x}\right)}\right) $$

Inducción Paso $$ \begin{align} \tag{1} \kern-30pt D_x \left({\textstyle\prod\limits_{i=1}^{k+1} f_i \left({x}\right)}\right) &= D_x \left({\left({\textstyle\prod\limits_{i=1}^k f_i \left({x}\right)}\right) f_{k+1} \left({x}\right)}\right) \\ &= \tag{2} D_x \left({f_{k+1} \left({x}\right)}\right) \left({\textstyle\prod\limits_{i=1}^k f_i \left({x}\right)}\right) + D_x \left({\textstyle\prod\limits_{i=1}^k f_i \left({x}\right)}\right) f_{k+1} \left({x}\right) \\ &=\tag{3} D_x \left({f_{k+1} \left({x}\right)}\right) \left({\textstyle\prod\limits_{i=1}^k f_i \left({x}\right)}\right) + \left({\sum_{i=1}^k \left({D_x \left({f_i \left({x}\right)}\right) \textstyle\prod\limits_{j \ne i} f_i \left({x}\right)}\right)}\right) f_{k+1} \left({x}\right) \\ &= \tag{4} \sum_{i=1}^{k+1} \left({D_x \left({f_i \left({x}\right)}\right)\textstyle \prod\limits_{j \ne i} f_i \left({x}\right)}\right) \end{align} $$

Pregunta

Estoy atrapado en el (3). ¿Cómo puedo ir de (3) a (4)? Específicamente, ¿qué tipo de manipulaciones algebraicas necesita hacer y cuáles son las motivaciones para hacer esas manipulaciones algebraicas para llegar a (4)? Para ponerlo de otro modo, me gustaría saber que es el proceso de pensamiento de que uno va a través de la hora de simplificar (3) a (4).

Nota: espero que alguien pueda corregir mi Látex de la composición tipográfica. Yo estaba bajo la impresión de que el align medio ambiente automáticamente el número de las fórmulas que yo escribo. Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ es mucho más clara sobre la escala, donde se convierte en la suma logarítmica de derivados.

$$\rm\begin{eqnarray} D(f_{n+1}\cdots f_1)\ &=&\rm\ (D\:f_{n+1})\ f_n\cdots f_1\ +\ f_{n+1}\:D(f_n\cdots f_1) \\ \\ \Rightarrow\quad\rm\ \dfrac{D(f_{n+1}\cdots f_1)} {f_{n+1}\cdots f_1}\ &=&\rm\ \dfrac{D\:f_{n+1}}{f_{n+1}}\ +\ \dfrac{D(f_{n}\cdots f_1)} {f_{n}\cdots f_1} \\ \\ &=&\rm\ \dfrac{D\:f_{n+1}}{f_{n+1}}\ +\ \dfrac{D\:f_{n}}{f_{n}}\ +\ \dfrac{D(f_{n-1}\cdots f_1)} {f_{n-1}\cdots f_1} \\ \\ \\ &\cdots& \\ \\ \Rightarrow\qquad\rm\dfrac{D(f_{n+1}\cdots f_1)} {f_{n+1}\cdots f_1}\ &=&\rm\ \dfrac{D\:f_{n+1}}{f_{n+1}}\ +\ \dfrac{D\:f_{n}}{f_{n}}\ +\ \cdots\ +\ \dfrac{D\:f_1}{f_1} \end{eqnarray}$$

Multipying ambos lados de arriba por $\rm\ f_{n+1}\cdots f_1\ $ se obtiene el resultado buscado.

La clave es esta. Con $\rm\ L\: f\: :=\: D\:f/f\ $ tenemos $\rm\ L(f\:g)\ =\ L(f) + L(g)\:.\: $ por encima de La prueba es simplemente la perspectiva de la extensión a un producto de $\rm\:n+1\:$ términos, es decir, $\rm\ L(f_{n+1}\cdots f_1)\:=\: L(f_{n+1})+\:\cdots\:+L(f_1)\:.$ Multiplicando este por $\rm\:f_{n+1}\cdots f_1\:$ de los rendimientos del tratado de producto derivado de la regla (pero, por desgracia, ofusca dijo clave homomórfica de la propiedad de la derivada logarítmica).

Tal vez usted también puede encontrar útil esta sugerencia de uno de mis anteriores posts.

logarítmica de la diferenciación que hace la n-ary generalización obvia:

$$\rm (abc)'\:=\ abc \; log(abc)'\: =\ abc \;(log\; a + log\; b + log\; c)'\: =\ abc \; \bigg(\frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} + \frac{c'}{c}\bigg) $$

Obviamente la misma prueba en obras de longitud arbitraria productos de rendimiento

$$\rm (abc\: \cdots\: f)'\: =\ \: abc\:\cdots f\:\ \bigg(\frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} + \frac{c'}{c} +\:\cdots\:+ \frac{f\:'}{f}\bigg) $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ D_x (f_{k+1}(x))\left( \prod_{i=1}^k f_i(x))\right) = \sum_{i=k+1}^{k+1} D_x(f_i(x)) \left( \prod_{j \neq i}^{k+1} f_i(x) \right) $$

y

$$ \left( \sum_{i=1}^k \left( D_x(f_i(x)) \prod_{j \neq i}^k f_i(x)\right) \right) f_{k+1}(x) = \sum_{i=1}^{k} D_x(f_i(x)) \left( \prod_{j \neq i}^{k+1} f_i(x) \right)$$, bringing the $f_{k+1}(x)$ plazo con el producto. La adición de estos, el resultado de la siguiente manera.

Si todavía no está claro, siempre se puede intentar escribirlo para valores pequeños de a $k$.