Cálculo de una raíz cuadrada de un número grande

Question

¿Cómo puedo calcular el siguiente número: $$ \sqrt{444 \cdots (2n \text{ digits}) + 111 \cdots (n+1 \text{ digits}) - 666 \cdots (n \text{ digits})}.$$

Mi tratando de :

He tratado de calcular estos datos mediante la observación del patrón de $ 7^2 , 67 ^2 ,667^2 , 6667^2 , \dots$. Pero no hay ninguna noticia prometedora para resolver este proceso.

Answer 1

Sugerencia:

Utilice el hecho de que $111\dots 111 = \frac{10^n-1}{9}$ (donde hay$n$)

A continuación, su número es

$$4\frac{10^{2n}-1}{9} + \frac{10^{n+1}-1}{9} - 6\frac{10^n-1}{9} = \frac{4\times 10^{2n}-4 +10^{n+1}-1-6\times 10^n+6}{9}$$

$$=\frac{4\times 10^{2n}+4\times 10^n+1}{9}$$

$$= \frac{(2\times 10^n+1)^2}{9}$$