Prueba de $S \subset \mathbb{R}$, $ \inf(S)\leq \sup(S)$

Question

Demostrar que para cualquier conjunto no vacío $S \subset \mathbb{R}$, $ \inf(S)\leq \sup(S)$ y dar las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad.

Esto es lo que tengo hasta ahora, pero creo que estoy en el camino equivocado:

Desde el conjunto S está contenido en R, tenemos cuatro opciones: $$S=(a,b) ; S=[a,b) ; S=(a,b] ; S=[a,b]$$ para algunos $ a \text{ and } b \in \mathbb{R}$

a través de la orden de intervalo notación de $\inf(S)=a$ $\sup(S)=b$ $a\leq b$ por la definición de intervalo de notación. Por lo tanto $\inf(S) \leq \sup(S)$.

Answer 1

Sugerencia: Suponga que $S$ tiene más de un punto. Si $a,b \in S$ $ a<b$ ¿qué se puede deducir acerca de la $\inf$$\sup$$S$? ¿Qué sucede si $S$ tiene un punto?

Answer 2

Estoy asumiendo que usted quiere demostrar que $\inf S\leq \sup S$, siempre que $S\subseteq \mathbb{R}$ es un no-vacío subconjunto, y no a la inversa de la desigualdad.

Una parte de la definición de la supremum es que es una cota superior para $S$, es decir, $$s\leq \sup S\quad \text{for all }\;s\in S.$ $ Lo mismo va para el infimum, es un límite inferior para $S$: $$\inf S\leq s\quad\text{for all }\; s\in S.$$

Ahora uso el hecho de que $S$ es no vacío para deducir la desigualdad.