Soluciones a $100a+10b+c=11a^2+11b^2+11c^2$ $100a+10b+c=11a^2+11b^2+11c^2+ k$

Question

El problema de los estados que

Encontrar todos tres dígitos de números naturales tal que cuando el número es dividido por $11$ da el cociente igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos

Ya que no hay información acerca de si el resto es $0$ o no , yo en primer lugar, supone que la pregunta está hablando acerca de los números perfectamente divisible por $11$

Ahora he a $80$ números de la izquierda , puedo comprobar por separado , pero va a ser largo

Hice una ecuación de $$100a+10b+c=11a^2+11b^2+11c^2$$

Reorganizado y consiguió $$a(11a-100)+b(11b-10)+c(11c-1)=0$$

He a $10$ valores de $a,b,c=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}$

He hecho una tabla correspondiente a $a(11a-100),b(11b-10),c(11c-1)$ y se encontró que sólo por $a=b=5,c=0$ $a=8,b=0,c=3$ están dando su suma $0$ , por lo tanto $550$ $803$ son los únicos números de la satisfacción de una determinada propiedad y divisible por 11.

Ahora tengo dos preguntas:

$1.)$Es mi camino y mi respuesta correcta? Si no, entonces ¿dónde he entendido mal?

$2.)$¿Qué acerca de los números que no son divisibles por $11$?

Como se ha mencionado por una respuesta er de este post , hay seis números tales que no son divisibles por $11$ , pero todavía le dan el cociente de la suma de los cuadrados de sus dígitos. Pero la respuesta er encontrado que el uso de un programa de ordenador, que no es adecuado para el lápiz del papel de las matemáticas. Entonces, ¿cómo puedo encontrar a los seis números ?

Answer 1

Queremos encontrar todos los conjuntos de números enteros $a,b,c,k$ tal que $$100a+10b+c=11a^2+11b^2+11c^2+ k\tag1$$ donde$1\le a\le 9,0\le b\le 9,0\le c\le 9$$0\le k\le 10$.

Tenemos $$(1)\iff k+b(11b-10)+c(11c-1)=a(100-11a)$$

Desde $a(100-11a)\le 5(100-11\times 5)=225$, tenemos $$k+b(11b-10)+c(11c-1)\le 225\tag2$$

Ya que tenemos que $b(11b-10)\ge 6(11\times 6-10)=336\gt 225$ $b\ge 6$ y $c(11c-1)\ge 5(11\times 5-1)=270\gt 225$$c\ge 5$,$(2)$, tenemos que tener $b\le 5$$c\le 4$.

También, de$(1)$$0\le k\le 10$, solución de $$0\le 100a+10b+c-11a^2-11b^2-11c^2\le 10$$for $un$ gives$$a\in\left[\frac{50-\sqrt m}{11},\frac{50-\sqrt{m-110}}{11}\right]\cup\left[\frac{50+\sqrt{m-110}}{11},\frac{50+\sqrt m}{11}\right]\tag3$$where $m=2500-11(11b^2+11 c^2-10b-c)$.

Ahora, podemos ver que $$\frac{50-\sqrt m}{11}\le 1\le \frac{50-\sqrt{m-110}}{11}\iff 1521\le m\le 1631\quad\text{for}\quad a=1$$$$\frac{50-\sqrt m}{11}\le 2\le \frac{50-\sqrt{m-110}}{11}\iff 784\le m\le 894\quad \text{para}\quad un=2$$$$\frac{50-\sqrt m}{11}\le 3\le \frac{50-\sqrt{m-110}}{11}\iff 289\le m\le 399\quad\text{for}\quad a=3$$$$\frac{50-\sqrt m}{11}\le 4\le\frac{50-\sqrt{m-110}}{11}\iff 110\le m\le 146\quad\text{para}\quad un=4$$$$\frac{50+\sqrt{m-110}}{11}\le 5\le\frac{50+\sqrt m}{11}\iff 100\le m\le 125\quad \text{for}\quad a=5$$$$\frac{50+\sqrt{m-110}}{11}\le 6\le\frac{50+\sqrt m}{11}\iff 256\le m\le 356\quad\text{para}\quad un=6$$$$\frac{50+\sqrt{m-110}}{11}\le 7\le\frac{50+\sqrt m}{11}\iff 729\le m\le 829\quad\text{for}\quad a=7$$$$\frac{50+\sqrt{m-110}}{11}\le 8\le \frac{50+\sqrt m}{11}\iff 1444\le m\le 1544\quad\text{para}\quad un=8$$$$\frac{50+\sqrt{m-110}}{11}\le 9\le\frac{50+\sqrt m}{11}\iff 2401\le m\le 2501\quad\text{for}\quad a=9$$

Caso 1 : Cuando el $b=5$, ya que el $b(11b-10)=225$$(2)$, tenemos que tener $k=c(11c-1)=0,a=5$ dar $a=5,b=5,c=0,k=0$.

Caso 2 : Cuando el $b=4$, ya que el $b(11b-10)=136$, $$(2)\implies k+c(11c-1)\le 225-136=89$$from which we have to have $c\le 2$ since $c(11c-1)\ge 3\times (11\times 3-1)=96\gt 89$ for $c\ge 3$.

• Caso 2-1 : Para$c=0$,$m=1004$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 2-2 : Para$c=1$,$m=894$. Por lo tanto, tenemos $a=2$, e $k=10$$(1)$.

• Caso 2-3 : Para$c=2$,$m=542$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

Caso 3 : Cuando el $b=3$, ya que el $b(11b-10)=69$, $$(2)\implies k+c(11c-1)\le 225-69=156$$from which we have to have $c\le el 3$ since $c(11c-1)\ge 4\times (11\times 4-1)=172\gt 156$ for $c\ge 4$.

• Caso 3-1 : Para$c=0$,$m=1741$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 3-2 : Para$c=1$,$m=1631$. Por lo tanto, tenemos $a=1$, e $k=10$$(1)$.

• Caso 3-3 : Para$c=2$,$m=1279$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 3 y 4 : Para $c=3$,$m=685$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

Caso 4 : Cuando $b=2$,$c\le 4$.

• Caso 4-1 : Para$c=0$,$m=2236$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 4-2 : Para$c=1$,$m=2126$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 4-3 : Para$c=2$,$m=1774$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 4-4 : Para$c=3$,$m=1180$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 4-5 : Para$c=4$,$m=344$. Por lo tanto, tenemos $a=3,6$, e $(a,b,c,k)=(3,2,4,5),(6,2,4,8)$$(1)$.

Caso 5 : Al$b=1$,$c\le 4$.

• Caso 5-1 : Para$c=0$,$m=2489$. Por lo tanto, tenemos $a=9$$k=8$$(1)$.

• Caso 5-2 : Para$c=1$,$m=2379$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 5-3 : Para$c=2$,$m=2027$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 5-4 : Para$c=3$,$m=1433$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 5-5 : Para$c=4$,$m=597$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

Caso 6 : Cuando el $b=0$,$c\le 4$.

• Caso 6-1 : Para$c=0$,$m=2500$. Por lo tanto, tenemos $a=9$, e $k=9$$(1)$.

• Caso 6-2 : Para$c=1$,$m=2390$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 6-3 : Para$c=2$,$m=2038$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

• Caso 6-4 : Para$c=3$,$m=1444$. Por lo tanto, tenemos $a=8$, e $k=0$$(1)$.

• Caso 6-5 : Para$c=4$,$m=608$. Así, no hay ningún número entero $a$ satisfacción $(3)$.

Por lo tanto, la respuesta es $$\begin{align}\color{red}{(a,b,c,k)=}\ &\color{red}{(5,5,0,0),(2,4,1,10),(1,3,1,10),(3,2,4,5)}\\&\color{red}{(6,2,4,8),(9,1,0,8),(9,0,0,9),(8,0,3,0)}\end{align}$$

Answer 2

Hacer una tabla con todos los números múltiplos de 11 de 110 a 990 de la siguiente manera:

Hay dos casos que satisfacen la solución: 550 & 803. Hice esta simulación en excel.

n   a   b   c   a^2 b^2 c^2 sum n/11    f
550 5   5   0   25  25  0   50  50  1
803 8   0   3   64  0   9   73  73  1

EDIT: Si, yo no asumo que todos los números serían múltiplos de 11, hay 8 soluciones:

n   a   b   c   sum n/11 qoutient
131 1   3   1   11  11
241 2   4   1   21  21
324 3   2   4   29  29
550 5   5   0   50  50
624 6   2   4   56  56
803 8   0   3   73  73
900 9   0   0   81  81
910 9   1   0   82  82

Answer 3

Esto podría no ser la mejor manera, pero aquí es como yo lo haría.

Asumir que el resto $\lambda$. Recuerde que $\lambda$ puede tomar cualquier valor de 0 a 10.

Tenga en cuenta que $100a + 10b +c = 11a^2 + 11b^2 + 11c^2 + \lambda$ puede escribirse como

$$(11a - 50)^2 + (11b - 5)^2 + (11c - \frac{1}{2})^2 = 2525 + \frac{1}{4} - \lambda$$

Para el resto de la respuesta, voy a asumir la $\lambda = 0.$ El resto de los casos para $\lambda$ puede ser tratada de la misma manera. Desde cada uno de los términos en el lado izquierdo son positivos, tenemos que $c \leq 4$

Podemos tomar de 5 casos basándose en cada uno de los cinco posibles valores de $c$ y resolver para $a$$b$.

No voy a ir a través de todos los casos pero en cada uno de ellos debemos ser capaces de establecer límites superiores en los valores de $a$$b$. Además, el espacio de búsqueda puede reducirse aún más mediante el uso de la paridad de $a$$b$.

Este método no es muy diferente a la de su "mesa de la generación de" método. La única diferencia es que el espacio de búsqueda se poda un poco. También, si el número en sí es divisible por 11, podemos utilizar la propiedad se menciona en los comentarios para podar el espacio de búsqueda aún más.

El proceso se repite para otros valores de $\lambda$. Los límites superior no debe diferir mucho, pero el individuo soluciones.

Answer 4

El siguiente método puede ser implementado sin el uso de una computadora, la cual es (según entiendo) lo que usted está buscando.

Como Reinhard Meier señala, si

\begin{align*} 100a + 10b + c = 11(a^2 + b^2 + c^2), \end{align*}

que es un entero, entonces considerando el lado izquierdo (mod $11$), se encuentra que \begin{align*} 100a + 10b + c \equiv a - b + c \equiv 0, \end{align*} lo que significa que $a + c \equiv b$ (mod $11)$. Desde $-9 \leqslant a-b+c \leqslant 18$, las únicas posibilidades son las siguientes: $a-b+c =0$ o $a-b+c = 11$. Por lo tanto tenemos dos casos:

\begin{align*} 1) \quad a+c = b, \quad \text{or} \quad 2) \quad a+c = 11+b. \end{align*}

Caso 1) , a Escribir $a+c$ $b$ en la ecuación, se llega a la siguiente instrucción: $110a + 11c = 22a^2 + 22c^2 + 22ac$, que se reduce a la siguiente ecuación de segundo grado en $a$: $a^2 + a(c-5)+c^2-\frac{c}{2}=0.$ El discriminante de la ecuación es

\begin{align*} D = (c-5)^2 -4(c^2-\frac{c}{2}) = 25-3c^2-8c, \end{align*}

y esto tiene que ser un número cuadrado, ya que requieren una solución de $a$ pertenecen al conjunto de $\lbrace 0,\ldots,9 \rbrace$. Ahora se puede comprobar fácilmente que $D$ es un cuadrado iff $c = 0$. En ese caso, $a + 0 = a = b$, y así la ecuación inicial se convierte en $110a = 22a^2$, en donde las soluciones se $a= 0$ o $a = 5$. Esto produce que el número de $550$, lo que usted menciona en su post.

Caso 2) , a Escribir $a+c -11$$b$, tenemos \begin{align*} b^2 &= (a+c)^2 -22(a+c)+121 \\ &= a^2 + 2ac + c^2 -22a-22c + 121 \\ &= a^2 + a(2c-22) + c^2 - 22c + 121. \end{align*}

La ecuación original ahora dice

\begin{align*} 110a+11c-110 &= 11a^2 + 11c^2 + 11(a^2 + a(2c-22) + c^2 - 22c + 121)\\ &\Updownarrow \\ 10a+c-10 &= a^2 + c^2 + a^2 + a(2c-22) + c^2 - 22c + 121 \\ &= 2a^2 +a(2c-22)+2c^2-22c+121\\ &\Updownarrow \\ 0 &= a^2 + a(c-16)+c^2-\frac{23}{2}c+\frac{131}{2}. \end{align*} Al igual que antes, el discriminante de la ecuación cuadrática debe ser un número cuadrado. El discriminante es

\begin{align*} D &= (c-16)^2 - 4(c^2-\frac{23}{2}c+\frac{131}{2}) \\ &= c^2 -32c + 256 -4c^2+46c-262 \\ &= 14c - 3c^2 - 6. \end{align*}

Uno fácilmente se comprueba que para $c \geqslant 5$, $D < 0$. Por tanto, sólo necesitamos considerar las posibilidades $c = 0,1,2,3,4$. De estos, sólo $c = 3$ de los rendimientos de un cuadrado discriminante, es decir,$D = 9$. Volviendo a la ecuación original, ahora dice que

\begin{align*} 0 = a^2 -13a + 9-\frac{69}{2}+\frac{131}{2} = a^2 -13a +40, \end{align*} cuyas soluciones son a $a = 5$ (y por lo tanto $b = 5+3-11 < 0$, lo cual es imposible) o $a = 8$ (y por lo tanto $b = 8+3-11 = 0$).

En definitiva, nos encontramos con dos (y sólo dos) números que satisfacen el requisito especificado: 550 y 803.