Si cada subconjunto no vacío de un conjunto $S$ tiene un menor y el mayor elemento, es $S$ finito?

Question

Algunos de los conjuntos bien ordenados; todos sus subconjuntos no vacíos tienen menos elementos. Usted también puede tener conjuntos donde todos sus subconjuntos no vacíos de tener mayores elementos.

Algunos de los juegos de estas dos propiedades. Por ejemplo, cualquier totalmente ordenado conjunto finito se satisfacen ambas de las propiedades antes mencionadas.

Hay conjuntos infinitos que tienen ambos de estas propiedades? Yo no puedo pensar en ninguna, en la parte superior de mi cabeza, pero también me parece que no puede encontrar una prueba de que dice que no puede existir.

Gracias!

Answer 1

$S$ debe ser finito. Supongamos que $S$ es infinito. Deje $S_0=S$$x_0=\max S_0$. Dado $S_n\ne\varnothing$ algunos $n\in\omega$, vamos a $x_n=\max S_n$, y deje $S_{n+1}=S_n\setminus\{x_n\}$. Entonces el conjunto $\{x_n:n\in\omega\}$ no tiene menos de elemento.

Answer 2

El conjunto total $S$ tiene al menos un elemento de a $a_1$ y un mayor elemento de $b_1$.

El conjunto $A\setminus\{a_1,b_1\}$ tiene al menos un elemento de a $a_2$ y un mayor elemento de $b_2$.

El conjunto $A\setminus\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$ [etc.etc.]

El subconjunto $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ no tiene mayor elemento a menos que sea finito; de manera similar $\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}$ no tiene menos de elemento a menos que sea finito.