Me pregunto si hay alguna categórica de la propiedad que recoge exactamente lo finito álgebras de algunos teoría algebraica sin refiriéndose al conjunto subyacente.
Lo que quiero decir es: no quiero usar el de la estructura de un functor $\mathcal{A} \to \mathsf{Set}$ de mi algebraicas categoría. Esto es (obviamente) no es tan interesante, pero lo más importante es que quiero que la propiedad de tener sentido en la ausencia de dicha estructura también (obviamente, yo podría tener una interpretación diferente entonces, estoy abierto a cualquier cosa interesante).
No hay engaño permitido, por supuesto! Usted no puede referirse a la libre en un objeto singleton, ya que no tiene ningún sentido en una categoría general (por ejemplo, no puede usar $\mathcal{A}(\mathbb Z, G)$ a contar los elementos en un grupo de $G$ $\mathbb{Z}$ es determinado por alguna de las propiedades que involucran el functor $\mathcal{A} \to \mathsf{Set}$; aunque se puede caracterizar $\mathbb{Z}$ por diferentes medios, esto probablemente no tiene mucho sentido para otros tipos de álgebras además de los grupos).
Aquí están algunas de las condiciones necesarias para un álgebra $A$ a un ser finito, pero no veo cómo cualquiera de ellos es suficiente):
- el poset de subobjetos $\operatorname{Sub} A$ es finito
- $A$ es finitely generado ($\mathcal{A}(X,\_)$ conserva filtrada colimits de los monos)
- el monoid de endomorphisms $\operatorname{End} A$ es finito
- $A$ es Dedekind-finito, es decir: cada mono (inyección) $A\to A$ es un isomorfismo
También me gustaría estar interesado en una propiedad para algunos (no para los pequeños) subclase de todas las teorías o una declaración, que lo que yo estoy tratando de hacer es inviable.
