En un número finito de anillo de extensión hay sólo un número finito de primer ideales de la mentira a través de un primer ideal

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 6.7 de miles Reid del Pregrado Álgebra Conmutativa (pag 93).

¿Cómo puedo probar que si $B$ es finita anillo de extensión de $A$, hay sólo un número finito de primer ideales de $B$ cuya intersección con $A$ es el primer ideal de $A$?

Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Deje $\mathfrak{p} \subset A$ ser una de las primeras ideal. Localizar en $\mathfrak{p}$, por lo que el $A_{\mathfrak{p}}$ es un anillo local. Los números primos $\mathfrak{q}$ $B$ que $\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}$ son llamados los números primos se encuentra por encima del $\mathfrak{p}$. Los números primos se encuentra por encima del $\mathfrak{p}$ permanecer en el ring $B_{\mathfrak{p}},$ y son distintos. Todos estos primos se extienden sobre el ideal maximal $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$$A_{\mathfrak{p}}$, de modo que todos ellos son de máxima. Ahora, ¿cuántos máxima ideales que contienen a$\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$$B_{\mathfrak{p}}$?

Answer 2

Sugerencia: en Primer lugar demostrar que es suficiente para probar este para la máxima $\mathfrak p$ (localizar). A continuación, mostrar que es suficiente para probar esto, cuando el máximo ideal es $(0)$ (factor). Entonces usted tiene un número finito de $k$-álgebra y debe demostrar que tiene un número finito de primer ideales.