Integración de

Question

Estoy bastante seguro de que $$\bigg|\int_{A}e^{it}\,dt\bigg|\leq2$$ para cada conjunto medible $A\subseteq[-\pi,\pi]$, pero no puedo probar esto...

Answer 1

Evitamos los argumentos que utilizan el módulo (es decir, la desigualdad del triángulo) ya que para algunos conjuntos medibles, por ejemplo,$A = [-\pi, \pi]$, tenemos una sobreestimación $$\Big|\int_A e^{it}dt\Big| \leq 2 < \int_A|e^{it}|dt = 2\pi$$

Simplemente girando el valor de la integral (que es un número complejo) de vuelta a los números reales.

Deje $f(t) = e^{it}$. Desde $\int_A f dt$ es un número complejo, se ha de magnitud y de fase $$\int_A f dt = \Big|\int_A f dt\Big| e^{i\theta}$$ for some $\theta \[- \pi, \pi]$. Note that $\theta$ es independiente del tiempo, por lo tanto $$\Big|\int_A f dt\Big| = \int_A f e^{-i\theta} dt$$ Las integrales son reales valorado, por lo tanto consideramos que el componente real sólo $$\int_A f e^{-i\theta} dt = \int_A \mathfrak{Re}(f e^{-i\theta}) dt = \int_A \cos(t - \theta) dt$$

Queda por demostrar que el verdadero integral de la $ \int_A \cos(t - \theta) dt \leq 2$.

Sugerencia. $\cos(t-\theta)$ es no negativo para $t-\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$, por lo que estamos interesados en tales elementos de $A$, denotan ellos por $A^+$, por lo que el $$\int_A \cos(t-\theta) dt \leq \int_{A^+} \cos(t-\theta) dt \leq \int_{[-\pi/2, \pi/2]} \cos(t)dt = 2$$

Answer 2

Tenemos $$ I=\int_a^be^{it}dt=\frac{1}{i}(e^{ib}-e^{ia}) $$ Entonces $$ |I|=|-i||e^{ib}-e^{ia}|=|e^{ib}||1-e^{i(b-a)}|\le |1|+|e^{i(b-a)}|\le 1+1=2$$

Answer 3

Sugerencia: $e^{it}=\cos t + i \sin t$ y split $[-\pi,\pi]$ en las regiones $[-\pi,-\pi/2],[-\pi/2,0],[0,\pi/2],[\pi/2,\pi]$. ¿Cómo $\cos$ $\sin$ comportarse en estas regiones?