Cuando se $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ lineal independiente?

Question

Dado $n$ lineal independiente de vectores, $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$.

Ahora, vamos a

$$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_m$$ $$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3 + \cdots + \alpha_{m+1}$$ $$\ldots$$ $$\beta_{n-m} = \alpha_{n-m} + \alpha_{n-m+1} + \cdots + \alpha_n$$ $$\beta_{n-m+1} = \alpha_{n-m+1} + \alpha_{n-m+2} + \cdots + \alpha_{n+1}$$ $$\ldots$$ $$\beta_{n-1} = \alpha_{n-1} + \alpha_{n} + \cdots + \alpha_{m-2}$$ $$\beta_{n} = \alpha_{n} + \alpha_{1} + \cdots + \alpha_{m-1}$$

donde $1 \lt m \lt n$.

Por ejemplo, si $n=3$$m=2$, luego

$$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$$ $$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$$ $$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$$

La pregunta es, a que la condición de $n$ $m$ debe cumplir con al $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ son lineales independientes?

Una suposición es que el $n$ $m$ debe ser relativamente primos, pero yo no puede ni probar ni refutar.

Answer 1

No es el implícita de la matriz de un circulantes de la matriz?

Entonces, porque de este determinante de la fórmula, el problema (para el caso de la linealmente dependiente de vectores) aparece para preguntar, para determinado $m < n$

Cuando es el caso que hay un $j \mid n$ tal que $\omega_{j}$ es una raíz de $f_{m} = x^{m-1} + \dots + x + 1$, o, equivalentemente, $\phi_{j}$ divide $f_{m}$?

Aquí $\omega_{j}$ es una primitiva $j$-ésima raíz de la unidad, y $\phi_{j}$ $j$- th cyclotomic polinomio.

Si $\phi_{j}$ divide $f_{m}$, $j > 1$ ( $f_{m}(\omega_{1}) = f_{m}(1) = m \ne 0$ ), y $\phi_{j}$ divide $x^{m} - 1 = (x-1) f_{m}$, lo $j \mid m$. Por el contrario, si $j > 1$$j \mid m$, $\phi_{j}$ divide $x^{j} - 1$ que se divide $x^{m} - 1 = (x - 1) f_{m}$, por lo que el $\phi_{j}$ divide $f_{m}$$j > 1$.

Por lo tanto la condición lineal de la dependencia en realidad parece ser que $\gcd(n, m) \ne 1$.

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Adenda. El punto clave aquí es realmente $$\gcd(x^{n} - 1, x^{k} - 1) = x^{\gcd(n, k)} - 1.$$

Answer 2

Estás en lo correcto. Escribir $V$ para tu espacio vectorial. Si $n,m$ no coprime, digamos que $k = \gcd(m,n) > 1$. A continuación, vamos a $\omega$ ser una primitiva $k$-ésima raíz de la unidad, y tenga en cuenta que la asignación de $V \to \mathbb C$ $$\sum_{i}v_i\alpha_i \mapsto \sum_i \omega^iv_i$$ lleva todos tus $\beta_i$ a cero, pero no lo hace para (decir) $\alpha_1$. Si usted está trabajando a través de $\mathbb R$ en lugar de ello, usted puede tomar el verdadero (o imaginario) de parte de estas ecuaciones, para obtener una expresión en términos de senos o cosenos.

Sin embargo, si $n,m$ son coprime, a continuación, definir (interpretar todos los índices como "mod $n$") $$\gamma_i = \beta_i - \beta_{i+1} = \alpha_i - \alpha_{i+m}.$$ Desde la secuencia de $\alpha_i,\alpha_{i+m},\alpha_{i+2m},\cdots$ cubre todas las $\alpha$, bien podríamos cambiar el orden de los índices de la $\alpha_i$ tal que $\gamma_i = \alpha_i - \alpha_{i+1}$. Entonces es claro que $\langle \gamma_1,\ldots,\gamma_n\rangle$ se extiende por todos los vectores que (en $\alpha$-coordenadas) tiene coordenadas que suma igual a cero. Por lo tanto, estos son todos en el lapso de $\langle \beta_1,\ldots,\beta_n\rangle$. Finalmente, $\sum_i \beta_i$ es también en este período, y juntos claramente abarcar todo el espacio. Puesto que el $n$ vectores abarcan toda la $n$-dimensiones del espacio, son la base.