La botella de Klein, la descripción de isomorfismo entre los celulares/homología simplicial, abelianization mapa de$\pi_1$$H_1$?

Question

Denotar la botella de Klein por $K$. Puedo calcular que$$\pi_1(K) \cong \langle a, b \mid ab = ba^{-1}\rangle, \quad H_0(K) = \mathbb{Z}, \quad H_1(K) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \quad H_2(K) = 0.$$

En lo que sigue, ya he buscado en línea para una respuesta, pero no pude encontrar nada satisfactoria, por las razones que voy a explicar.

Pregunta 1. ¿Qué es una descripción de la isomorfismo entre el celular y la homología simplicial específicamente aquí?

Es el siguiente teorema de la Hatcher, pero yo estoy interesado en una descripción de la isomorfismo entre el celular y la homología simplicial en el caso específico de una botella de Klein, y me gustaría evitar el uso de este teorema y ver como una descripción desde el más básico de los principios.

Teorema 2.35. $H_n^{\text{CW}}(X) \approx H_n(X)$.

Pregunta 2. ¿Qué es una descripción de la abelianization mapa de $\pi_1$ $H_1$específicamente aquí?

Podemos utilizar el teorema de Hurewicz o cosas de la Sección 2.Una de Hatcher, pero de nuevo, me gustaría evitar el uso de esos y ver como una descripción desde el más básico de los principios.

Answer 1

1. El mapa de $\pi_1 (X,x_0) \to H_1 (X)$ es el obvio : un bucle es asignado a la correspondiente $1$-simplex $\sigma\colon \Delta^1 \to X$$\partial_0 (\sigma) = \partial_1 (\sigma) = x_0$. En su caso, los bucles $a$ $b$ corresponden a dos $1$-simplices $\sigma_a$ $\sigma_b$ y la relación $ab = ba^{-1}$ corresponde a $\sigma_a + \sigma_b = \sigma_b - \sigma_a$, es decir,$2\,\sigma_a = 0$. El resultado es $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, como se esperaba.

2. En el Teorema 2.35 que usted cita $H_n (X)$ denota la singular homología, no homología simplicial. Si usted está leyendo Hatcher, entonces el isomorfismo $H_n^{CW} (X) \cong H_n (X)$ mantiene simplemente porque en el libro, el complejo para el cálculo de $H_n^{CW} (X)$ es , por definición, construido a partir de la relación singular de homología de grupos de $H_n (X^n, X^{n-1})$, con una adecuada diferenciales definido desde el tiempo exacto de secuencias de pares de $(X^n, X^{n-1})$ - véase el lema y la conmutativa diagrama antes Teorema 2.35.

   Los grupos de $H_n (X^n, X^{n-1})$ son libres, generados por $n$-de las células, por lo que en su caso $H_1 (X^1,X^0)$ corresponderá a la libre abelian grupo generado por los dos $1$-células de $a$$b$, e $H_2 (X^2,X^1)$ $H_0 (X^0)$ libre de abelian grupos en un generador, correspondiente a la $2$-célula y la $0$-células, respectivamente. Los diferenciales puede ser escrito de la fijación de los mapas (ver la discusión después de que el Teorema 2.35): $$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{d_2\colon 1 \mapsto 2a} \mathbb{Z} \left<a\right>\oplus \mathbb{Z} \left<b\right> \xrightarrow{d_1} \mathbb{Z} \to 0$$ Aquí $d_1 = 0$ (debido a que el espacio está conectado y sabemos que $H_0 \cong \mathbb{Z}$), con lo que consigue $H_1 \cong \frac{\mathbb{Z} \left<a\right>\oplus \mathbb{Z} \left<b\right>}{\mathbb{Z} \left<2a\right>} \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Como $d_2$ es inyectiva, de recuperar el hecho de que $H_2 = 0$.

3. Como para homología simplicial, siempre que tenga una triangulación, es un caso particular de la telefonía celular de la descomposición, y el correspondiente celular de la cadena de complejo va a ser, literalmente, la misma cosa que el simplicial complejo de cadena. Esta identificación es tautológica y usted no tiene que pasar a través de homología singular a ver.

Espero que le ayuda a...