Cómo eliminar otras posibilidades de $p$?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, $p$ ser el menor divisor primo de $|G|$, e $x \in G $ un elemento de orden p. Supongamos que $h \in G $ es tal que $hxh ^{−1} = x ^{10} $. Mostrar que $p=3$

Yo:

Desde $o(x)=p$ $hxh^{-1}$ $x$ ser conjugados tienen el mismo orden que hemos $o(hxh^{-1})=o(x^{10})=p$

También se $o(x^{10})=\dfrac{p}{\gcd(10,p)}=p$

A continuación, $\gcd(10,p)=1$ $10^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Puedo ver que $p=3$ satisface la ecuación .También se $p\neq 2,5$.Cómo eliminar otras posibilidades de $p$?

Answer 1

Deje $H=<h>$$X=<x>$, e $Aut(X)$ es el grupo de automorfismos de a $X$

debido a $x^{10}=hxh^{-1}$ se traduce en el hecho de que $H$ actúa en $X$ por la conjugación, en otras palabras, tenemos un homomorphism $\varphi : H → Aut(X)$ para cualquier elemento $h$ y cualquier elemento $t$ tenemos $\varphi(h)(x)=hth^{-1}$.

Este último grupo tiene orden de $p−1$ y el primer grupo ha pedido con todos los primos divisores $\geq p$ donde $\varphi$ es la trivial homomorphism. Esto significa que $hxh^{-1} = x$. Pero se nos da ese $hxh^{-1} = x^{10}$. De ello se desprende que $x^9$ es el elemento de identidad, por lo $p = 3$.

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Otra prueba (simplificación de los conceptos utilizados en la primera prueba)

Uno puede ver que $x^{10}=hxh^{-1}$ implica que el $x^{10^q}=h^{q}xh^{-q}$ el uso de Fermat poco teorema combinado con $q=p-1$ obtenemos $x=h^{p-1}xh^{-(p-1)}$ . Vamos ahora a $q$ como el orden de $h$, como sabemos el orden de $h$ es coprime con $p-1$ por lo tanto existen algunos $u$ tal que $u(p-1)\equiv 1 \mod q$ y luego: $$x=h^{p-1}xh^{-(p-1)}=h^{2(p-1)}xh^{-2(p-1)}=h^{u(p-1)}xh^{-u(p-1)}=hxh^{-1} $$

que te da el resultado.