¿Qué es un punto?

Question

En geometría, ¿qué es un punto? He visto la definición de Euclides y definiciones en algunos libros de texto. En ningún lugar he encontrado una noción completa. Y luego hice una definición basada en todo lo que sé sobre matemáticas. Ahora, necesito saber si lo que sé es correcto o no. Un libro dijo, si hacemos un punto en un papel, es un modelo de un punto. Otro dijo que no tiene tamaño. Otro dijo, todo el mundo sabe qué es. Otro dijo que, si se colocan uno tras otro, forman una línea recta. Otro dijo, sin dimensiones. Otro dijo, no puede ser visto de ninguna manera.

Answer 1

Punto, en geometría euclidiana, es una noción indefinida.

No definimos qué es un punto, solo qué propiedades deben tener los puntos, y estas propiedades están completamente especificadas por los axiomas. Esta es ciertamente una vista moderna de las matemáticas, y difiere del enfoque en la época de Euclides. Euclides define punto, pero la definición es vaga, y de todos modos nunca se usa.

La vista moderna se puede ver en el libro de Hilbert "Fundamentos de la geometría", donde se presenta un tratamiento moderno de la geometría, con énfasis en el enfoque axiomático. Para ver en qué medida no nos importa qué podría ser un punto, vea esta pregunta, sobre una famosa cita de Hilbert que dice que "Uno debe poder decir en todo momento, en lugar de puntos, líneas rectas y planos, mesas, sillas y jarras de cerveza".

Por supuesto, generalmente queremos trabajar con "modelos" muy concretos de los axiomas, siendo el más famoso el plano cartesiano. En este modelo, el plano es simplemente $\mathbb R\times\mathbb R$, e identificamos un punto con un elemento de este conjunto, es decir, un par ordenado $(x,y)

.

Además, existen varias formas (equivalentes) de axiomatizar la geometría, por lo que los detalles de qué "propiedades básicas" asumimos a priori variarán dependiendo de qué axiomatización concreta o modelo específico de los axiomas se tenga en mente o se esté trabajando.

Answer 2

No siempre podemos definir todo o demostrar todos los hechos. Cuando definimos algo, lo estamos describiendo de acuerdo con otros objetos bien conocidos, por lo que si no aceptamos nada como cosas obvias, ¡tampoco podemos definir nada! Lo mismo ocurre con la demostración de argumentos y hechos, si no aceptamos algo como Axiomas como "ZFC" o algún otro, entonces no podemos hablar de demostrar otros hechos. En cuanto a tu pregunta, debo decir que quieres definir "punto" de acuerdo con qué objetos? ¡Si no lo encuentras obvio, debes encontrar otros objetos que conozcas que puedan describir "punto"!

Answer 3

Un punto es una entidad 'erigida por la mente' encontrada en el modelo de 'espacio de 2 dimensiones' o el modelo de 'espacio de 3 dimensiones' que es construido por el cerebro humano. Cualquier punto es también la entidad fundamental 'erigida por la mente' de la geometría que es sin tamaño, invisible e indivisible, sin embargo los puntos tienen el poder de generar cada uno de los objetos 2D y 3D construidos por el cerebro.

sin tamaño: Cualquier punto es demasiado pequeño para existir físicamente, nos referimos a esto cuando decimos que cualquier punto es sin tamaño.

modelo de 'espacio de 2 dimensiones': Al ver una tabla de madera plana, podemos pensar en que se hace más delgada y delgada hasta tal punto que se vuelve sin grosor [A medida que avanzamos en el futuro, la tabla de madera plana se vuelve más delgada y más delgada y a lo largo del futuro ha estado siempre existiendo. En el estado sin grosor, puede parecer que la madera no existe. Dado que no hay obstrucción en imaginar la existencia de un bloque de madera invisible; por lo tanto somos libres para concluir que en el estado sin grosor la madera existe.]. Tomamos esta superficie sin grosor directamente frente a nuestra mente, permitiendo que se mantenga de pie verticalmente y luego a lo largo del borde la extendemos indefinidamente. Dejamos que esta expansión termine instantáneamente, entonces lo que tenemos es el 'espacio de 2 dimensiones'.

modelo de 'espacio de 3 dimensiones': Cuando se reside en una caja, si alguien saca todo desde adentro de la caja incluyéndose a sí mismo, entonces obtenemos espacio vacío en la caja. Luego tiramos la caja y recogemos el espacio vacío. Colocamos el espacio frente a nuestra mente y lo ampliamos indefinidamente. Dejamos que esta expansión termine instantáneamente, entonces lo que tenemos es el 'espacio de 3 dimensiones'.

'construido por el cerebro humano': construido en la mente

Answer 4

Mi opinión puede ser discutida, pero un punto es realmente solo un lugar de inicio o final para un objeto. Si hacemos la suposición de que un punto es real, entonces debe ser una intersección de dos líneas que en realidad pueden dibujarse en el espacio. Pero se tienen que crear dos líneas que ellas mismas comiencen como puntos y esta colección de puntos se extiende a través del espacio hasta que en algún lugar, estas dos líneas se cruzarán entre sí y compartirán un solo punto común entre ellas. Realmente creo que todo es solo un constructo mental y una forma de conectar puntos.

Answer 5

Pista: cada par ordenado, como $(a,b)$ en el plano, determina un punto en un sistema de coordenadas donde $a$ se coloca en el eje x y $b$ se coloca en el eje y. Supongamos que $(a,b)$ es un par ordenado. Lo definimos como $(a,b) := \{a,\{a,b\}\}.