Estoy buscando un ejemplo de una verdadera obligando noción $ \mathbb{P} $ tal que $ \mathbb{P} \times \mathbb{P} $ no es la correcta.
Tal vez alguien sabe un ejemplo obvio o puede dar una referencia a un ejemplo en la literatura?!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay un ejemplo natural (comprobable en $\mathsf{ZFC}$), que probablemente se remonta a Sela, ver a su Correcta e incorrecta obligando libro, en el capítulo XVII:
Considere la posibilidad de $\mathbb P=T=(\omega_2)^{<\omega_1}$, así que las condiciones son las funciones de $f$ con dominio de una contables ordinal, y rango contenido en $\omega_2$, y la ampliación de la extensión de las funciones. Tenga en cuenta que $\mathbb P$ es un árbol y, como forzar un concepto, es $\sigma$-cerrado (lo correcto), y se derrumba $\aleph_2$ mediante la adición de una rama a través de $T$ que es en realidad un surjection de $\omega_1$ a $\omega_2^V$.
Ahora, después de Baumgartner, vamos a $\mathbb Q_1$ ser el forzar a la que añade $\aleph_2$ Cohen reales, seguido por $\mathrm{Coll}(\omega_1,2^{\aleph_1})$ (por lo $\mathbb Q_1$ es adecuada, ya que tiene el formulario ccc$*$$\sigma$-cerrado). Como se explica en Baumgartner papel de las Aplicaciones de la correcta obligando axioma, obligando a con $\mathbb Q_1$ $\omega_2^V$ de cofinality $\omega_1$ y, lo que es más importante, en $V^{\mathbb Q_1}$, $T^V$ no tiene sucursales con supremum $\omega_2$, y no tiene nuevo $\aleph_1$-ramas (este es un clásico argumento debido a la Plata), por lo que el $T$ tiene más de $\aleph_1$ muchos de los $\omega_1$-ramas. Por último, vamos a $\mathbb Q$$\mathbb Q_1$, seguido por el sellado de forzar, la (ccc), obligando a que se "especializa" $T$ en el sentido de Baumgartner. Lo que importa es que esta obligando a los "sellos" de las ramas de $T$ en el sentido de que cualquier externa modelo de $V^{\mathbb Q}$ con el mismo $\aleph_1$ tiene precisamente el mismo ramas a través de $T$$V^{\mathbb Q}$.
El punto es que $\mathbb P\times \mathbb Q$ colapsa $\aleph_1$, por lo que no puede ser apropiado. Para ver esto, observe que en $V^{\mathbb P\times\mathbb Q}$ hay una nueva rama de $T$ (ya que estamos añadiendo un genérico para $\mathbb P$), pero esta es una extensión genérica de $V^{\mathbb Q}$, por lo que, necesariamente, $\aleph_1^V$ se derrumbó.
(Así, para obtener el ejemplo que desea, considere la posibilidad de $\mathbb R=\mathbb P\oplus\mathbb Q$, el de la lotería de la suma de $\mathbb P$$\mathbb Q$, lo $\mathbb R$ es adecuada, sino $\mathbb R\times\mathbb R$ no puede ser, como algunos de sus genéricos colapso $\aleph_1$.)
Capítulo XVII de Sela, el libro aborda muchos más elaborados ejemplos, en particular, verificar que si $\alpha<\beta<\omega_1$ son indecomposable ordinales, el forzamiento axioma de $\alpha$-correcto forzar nociones no implica forzar el axioma de $\beta$-correcto forzar a las nociones. Este trabajo ha sido recientemente ampliado por Aspero-Friedman-Mota-Sabok, que igualmente han separado el delimitada formas de estas obligando a los axiomas, y en el proceso resuelto negativamente una vieja conjetura de Baumgartner, mediante la comprobación de que no todo axioma $A$ obligando a incrusta en un $\sigma$-cerrado$*$ccc forzar. (Tenga en cuenta que el ejemplo anterior es axioma $A$, y de la forma ccc$*$$\sigma$-cerrado$*$ccc.) También se han caracterizado precisamente la clase de Un axioma forzamientos para que la hipótesis se sostiene. Su papel, Baumgartner de la conjetura y delimitada, obligando a los axiomas, apareció en los Anales de la Pura y Aplicada de la Lógica, 164 (12), (2013), 1178-1186.
Silver Dragon
Puntos
2441
Aquí es un ejemplo que muestra que por lo menos es coherente que un $\mathbb{P}$ existe. Trabajo a lo largo de $L$ y deje $T$ $L$- menos de Suslin árbol. Deje $\mathbb{P}$ ser el de la lotería de la suma de los forzamientos para disparar una rama de $T$ y especializarse $T$. Ya que estos dos son parte de la ccc, $\mathbb{P}$ es también ccc, así, en particular, la adecuada. Pero el producto $\mathbb{P}\times\mathbb{P}$ tiene condiciones que obligan a que $\omega_1$ está contraído (por ejemplo, la condición de optar por el disparo de una sucursal en el primer factor y se especializa en el segundo), por lo que no puede ser apropiado.
Añadido: Aquí es un argumento a partir de sólo ZFC, similar a lo que hicimos antes. Fue mostrado por el Sela, que no son propias de los posets $\mathbb{Q}_1,\mathbb{Q}_2$ tal que $\mathbb{Q}_1\times\mathbb{Q}_2$ colapsa $\omega_1$. Deje $\mathbb{P}$ ser el de la lotería de la suma de $\mathbb{Q}_1$$\mathbb{Q}_2$. A continuación, $\mathbb{P}$ es correcto pero, como en el anterior, $\mathbb{P}\times\mathbb{P}$ tiene condiciones que obligan a que $\omega_1$ está colapsado, por lo que no puede ser apropiado.
