Demostrar que $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\binom{m+k}{r}=0$

Question

Es bien sabido que $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=(1-1)^n=0$.

Parece ser que $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\binom{m+k}{r}=0$$

para cualquier $m,r\in\mathbb{N}$, $r\leq m.

¿Cómo se puede demostrar o desacreditar esto?

Gracias.

Answer 1

$$ \begin{align} \sum_k(-1)^k\binom{n}{k}\binom{m+k}{r} &=\sum_k(-1)^k\binom{n}{k}\sum_j\binom{k}{j}\binom{m}{r-j}\tag{1}\\ &=\sum_j\binom{m}{r-j}\sum_k(-1)^k\binom{n}{k}\binom{k}{j}\tag{2}\\ &=\sum_j\binom{m}{r-j}(-1)^n[n=j]\tag{3}\\ &=(-1)^n\binom{m}{r-n}\tag{4} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: Identidad de Vandermonde
$(2)$: cambiar orden de sumación
$(3)$: identidad $(1)$ mostrada en esta respuesta (Transformación Binomial Inversa)
$(4)$: aplicar Corchetes de Iverson

Esto es $0$ si $n\gt r$.

Answer 2

Creo que quieres $r

Answer 3

Sugerencias:

• $p(m)=\binom{m}{r}$ es un polinomio de grado $r$;

• si $\delta$ es el operador de diferencia que mapea un polinomio $q(x)$ en $q(x)-q(x+1)$ y el grado de $p(x)$ es $d\geq1$, entonces el grado de $(\delta p)(x)$ es $d-1$;

• $(\delta^2 p)(x)= p(x)-2p(x+1)+p(x+2)$ y $(\delta^3 p)(x)=p(x)-3p(x+1)+3p(x+2)-p(x+3)$, así que: $$ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}\binom{m+k}{r} = (\delta^n p)(m). $$ Entonces tenemos que $\color{red}{n>r}$ asegura que nuestra suma es cero. Si $n=r$ nuestra suma es igual a $(-1)^n$.

Answer 4

Este ejercicio es sencillo. Supongamos que queremos evaluar

$$\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} {m+k\choose r}.$$

Introducimos $${m+k\choose r} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r+1}} (1+z)^{m+k} \; dz.$$

Obtenemos para la suma

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r+1}} (1+z)^{m} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} (1+z)^k \; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r+1}} (1+z)^{m} (1-(1+z))^n \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{r-n+1}} (1+z)^{m} \; dz.$$

Esto se evalúa por inspección a $$(-1)^n {m\choose r-n}.$$

Answer 5

Un poco de álgebra preliminar permite un argumento combinatorio fácil. Deje

$$f(m,n,r)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{m+k}r\;;$$

entonces

$$\begin{align*} (-1)^nf(m,n,r)&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{n-k}\binom{m+k}r\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{m+n-k}r\;. \end{align*}$$

Ahora suponga que tienes $m$ hombres y $n$ mujeres, y quieres saber de cuántas maneras puedes elegir un comité de $r$ de estas $m+n$ personas de tal manera que incluya a todas las mujeres. Por un lado, esto es simplemente el número de maneras de elegir $r-n$ hombres para el comité, que es claramente $\binom{m}{r-n}$.

Por otro lado, para cualquier subconjunto $S$ del conjunto $W$ de mujeres, deje $\mathscr{C}_W$ ser el conjunto de comités de $r$ personas que no incluyen a ninguna de las mujeres en $S$; claramente

$$\left|\mathscr{C}_S\right|=\binom{m+n-|S|}r\;.$$

Para $0\le k\le n$ hay $\binom{n}k$ conjuntos de $k$ mujeres, entonces

$$\left|\bigcup_{w\in W}\mathscr{C}_{\{w\}}\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}k\binom{m+n-k}r$$

por el principio de inclusión-exclusión, y el número de comités de $r$ personas que contienen a todas las mujeres es

$$\begin{align*} \binom{m+n}r-\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}k\binom{m+n-k}r&=\binom{n}0\binom{m+n}r+\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{m+n-k}r\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{m+n-k}r\\ &=(-1)^nf(m,n,r)\;. \end{align*}$$

Así

$$(-1)^nf(m,n,r)=\binom{m}{r-n}\;,$$

y por lo tanto

$$f(m,n,r)=(-1)^n\binom{m}{r-n}\;,$$

lo cual es $0$ si $r