Encontrar $\lim_{n\to \infty} \int_n^{n+1} {\sin x \over x} dx$

Question

Encontrar $\lim_{n\to \infty} \int_n^{n+1} {\sin x \over x} dx$

Pensé acerca de la definición de $\space F(x) = \int_0^x {\sin t \over t} dt \space$ y, a continuación, el límite es de $\space \lim_{n\to \infty} (F(n+1) - F(n))$, así que la respuesta es 0? No parece aceptar

Answer 1

Tenemos $$\left \vert \int_n^{n+1} \dfrac{\sin(x)}xdx\right \vert \leq \int_n^{n+1} \left \vert \dfrac{\sin(x)}x\right \vert dx \leq \int_n^{n+1}\dfrac{dx}x = \log\left(1+\dfrac1n\right)$$ Por lo tanto, la integral converge a $0$.

Answer 2

La función de ${\sin x} \over {x}$ es integrable en a $(0,\infty)$. Esto significa que la suma

$$ \sum_{n=0}^\infty \int _n ^{n+1} \frac{\sin x}{x} dx = \int _0 ^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx $$ converges. And so, the $n^{th}$ term of this series must go to zero (by the $n^{th}$ plazo de prueba).

Answer 3

Usted puede utilizar el valor medio teorema para las integrales. $$\int_{n}^{n+1}{\frac{\sin x}{x}}\,dx=\frac{\sin \varepsilon}{\varepsilon}\; \quad\text{where} \;\varepsilon\in [n;n+1]$$

Si $n\to\infty\;$$\; \varepsilon\to\infty \;$. Por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}\int_{n}^{n+1}{\frac{\sin x}{x}}\,dx=\lim_{\epsilon\to\infty}\frac{\sin \varepsilon}{\varepsilon}=0$$

Answer 4

EDIT: Similar a la Pierna de la respuesta

Es conocido: $ -1 \le \sin(x) \le 1 \ \forall \ x \in \mathbb{R} $

$ \Rightarrow \int_n^{n+1} {\sin x \over x} dx \le \ \int_n^{n+1} {1 \over x} dx = \ln(n+1) - \ln(n) = \ln(1+\frac{1}{n}) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $

$ \Rightarrow \int_n^{n+1} {\sin x \over x} dx \ge \ -\int_n^{n+1} {1 \over x} dx = -\ln(n+1) + \ln(n) = - \ln(1-\frac{1}{n}) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $

Por lo tanto: $\lim\limits_{n\to \infty} \int_n^{n+1} {\sin x \over x} dx = 0 $