Demostrando Baire teorema: La intersección de una secuencia de densa abrir los subconjuntos de un espacio métrico completo es no vacío

Question

El siguiente es problema 3.22 de Rudin del Princples de Análisis Matemático:

Supongamos $X$ es un vacío completo de espacio métrico, y $\{G_n\}$ es una secuencia de densa abrir los subconjuntos de a $X$. Demostrar Baire teorema, es decir, que $\bigcap_{n=1}^\infty G_n$ no está vacío. Sugerencia: encontrar una contracción de la secuencia de los barrios de la $E_n$ tal que $\overline{E}_n\subset G_n$.

He aquí lo que he probado hasta ahora:

Deje $\{r_n\}$ ser una secuencia de Cauchy de números reales positivos convergente a $0$. Fix $x\in X$ y definen $E_i=\{g\in G_i:d(g,x)<r_i\}$, que es no vacío desde $G_i$ es densa. Me gustaría mostrar que para todos los $i$, $\overline{E}_i\subset G_i$ (me había convencido a mí misma de que esto podría ser cierto, pero ahora estoy teniendo dudas). Deje $e\in \overline{E}_i$. A continuación, cualquiera de $e\in E_i$ o $e$ es un punto límite de $E_i$. Si $e\in E_i$$e\in G_i$. De lo contrario, todos los barrios de $e$ contiene un punto en $E_i$.

Pensé que yo debería ser capaz de, a continuación, elija algún punto de $e'\in E_i$ en un barrio de $e$ y, desde $G_i$ está abierto, que tendrá una vecindad $N\subset G_i$ que contiene $e$, pero esto está demostrando ser difícil y estoy preocupado de que no es cierto. Si puedo demostrar que esto es cierto, entonces el resto va a seguir a partir de los resultados ya he probado.

¿Mi enfoque ningún sentido?

Por cierto, como una cuestión secundaria, ¿qué tipo de que una cosa $G_n$? Una secuencia de densa abrir subconjuntos parece extraño para mí-en primer lugar yo estaba pensando en alguna secuencia de los infinitos subconjuntos de los números racionales en los números reales, pero me di cuenta de que esos no son abiertos. ¿Hay algo que podría ser familiar para mi pequeño de pregrado cerebro que sería análogo a este problema?

Answer 1

Su enfoque no funcionará, ya que su $x$ podría no pertenecen a $G_i$, pero entonces sería un punto límite de $E_i$, y por lo $x \in \overline{E_i} \setminus G_i$.

---

Para probar esto, tenga en cuenta los siguientes hechos.

• Si $G$ es un denso conjunto abierto, y $U$ es cualquier conjunto abierto no vacío, entonces $G \cap U$ es un conjunto abierto no vacío.
• La intersección de un número finito de denso abierto conjuntos es de por sí denso abierto.

Utilizando la anterior, se puede construir una secuencia $\langle x_n \rangle_n$ $X$ tal que para cada una de las $n$ no es un porcentaje ($\delta_n$$0 < \delta_n \leq 2^{-n}$tal que

1. $\overline{B}(x_n;\delta_n) = \{ x \in X : d(x,x_n) \leq \delta_n \} \subseteq G_n$;
2. si $m > n$,$B(x_m;\delta_m) \subseteq B(x_n;\delta_n)$.

De forma recursiva en construir una secuencia:

Supongamos que $x_1 , \ldots , x_n$ han sido debidamente elegido (con asociados positivos reales $\delta_1 , \ldots , \delta_n$). Como $B ( x_n , \delta_n ) \cap G_{n+1}$ es un conjunto abierto no vacío podemos recoger algunas $x_{n+1} \in B ( x_n , \delta_n ) \cap G_{n+1}$. Luego hay un $\varepsilon > 0$ tal que $B ( x_{n+1} , \varepsilon ) \subseteq B ( x_n , \delta_n ) \cap G_{n+1}$, a fin de establecer $\delta_{n+1} = \min \{ 2^{-(n+1)} , \frac{\varepsilon}{2} \}$.

A ver, ¿cómo una secuencia demuestra el resultado:

Ya para $m > n$ tenemos que $d(x_n,x_m) < \delta_n \leq 2^{-n}$ se deduce que dicha secuencia (si se construye) debe ser de Cauchy, y por lo tanto tiene un límite, $x$. Además, para cada una de las $n$ como la cola $\langle x_k \rangle_{k=n}^\infty$ de la secuencia contenida en $B ( x_n , \delta_n )$,$x \in \overline{B ( x_n , \delta_n )} \subseteq \overline{B} ( x_n , \delta_n ) \subseteq G_n$. Por lo tanto,$x \in \bigcap_n G_n$.

---

En cuanto a la naturaleza de la densa abrir subconjuntos completa de métricas de espacios, tenga en cuenta que para la línea real $\mathbb{R}$ los siguientes son ejemplos de conjuntos sería de este tipo:

• El complemento de cualquier conjunto finito.
• El complemento de los números enteros.
• El complemento de cualquier secuencia convergente (incluyendo su punto límite).
• El complemento de la ternario de Cantor conjunto.
• Si usted enumerar los números racionales como $\{ q_i : i \in \mathbb{N} \}$ y deje $\{ \epsilon_i : i \in \mathbb{N} \}$ ser cualquier secuencia de positivos reales, entonces el conjunto $\bigcup_i ( q_i - \epsilon_i , q_i + \epsilon_i )$.

Básicamente en $\mathbb{R}$ un denso conjunto abierto un conjunto abierto (por lo que una unión de intervalos abiertos), cuyo complemento no incluye los "no-degenerada intervalos" (intervalos de no-longitud cero).