La razón por la que no se puede utilizar en la fase estacionaria de la técnica aquí es que no hay un punto de fase estacionaria – la derivada de la fase de
$$
\begin{align}
\phi(x)&=\delta x-\nu\exp(-\kappa x)/\kappa\;,
\\
\phi'(x)&=\delta+\nu\exp(-\kappa x)\;,
\end{align}
$$
está en todas partes positivas. Usted puede dar vuelta a su ventaja, ya que permite cambiar las variables de a $\phi$, lo que da
$$
I=\int_{-\infty}^\infty \frac{G(x(\phi)\sigma)}{\phi'}\exp(-\mathrm i\phi)\,\mathrm d\phi\;.
$$
Este es un componente de Fourier de una lenta variación de la función. Para los positivos $x$ tenemos $\phi\sim\delta x$, mientras que para el negativo $x$ tenemos $\phi\sim-\nu\exp(-\kappa x)/\kappa$ e lo $x/\sigma\sim\log(-\phi)/(\kappa\sigma)$, por lo que la integral debe decaimiento exponencial con $\delta$$\kappa\sigma$. Usted puede obtener de límites superiores por su magnitud mediante la integración por partes; el límite de los términos de desaparecer a causa de la Gaussiana, por lo que obtener
$$
|I|=\left|\int_{-\infty}^\infty \frac{G(x(\phi)\sigma)}{\phi'}\exp(-\mathrm i\phi)\,\mathrm d\phi\right|\le
\int_{-\infty}^\infty\left|\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\phi^n}\frac{G(x(\phi)\sigma)}{\phi'}\right|\,\mathrm d\phi
$$
para todos los $n\in\mathbb N$. Desde cada uno de los derivados de los rendimientos de un gran inversa factor, esto debería llevar a una muy pequeña límites en la magnitud de la integral.
Estos límites son más fáciles de evaluar si transformamos la espalda a $x$. Por ejemplo, para $n=0$ hemos
$$
|I|\le\int_{-\infty}^\infty G(x,\sigma)\,\mathrm dx=1\;,
$$
para $n=1$ con $|\phi'|\lt\delta$$|\phi''/\phi'|\lt\kappa$,
$$
\begin{align}
|I|&\le\int_{-\infty}^\infty\left|\frac{G'(x(\phi),\sigma)}{\phi'^2}-\frac{G(x(\phi),\sigma)\phi''}{\phi'^3}\right|\,\mathrm d\phi
\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left|\frac{G'(x,\sigma)}{\phi'}-\frac{G(x,\sigma)\phi''}{\phi'^2}\right|\,\mathrm dx
\\
&\le\frac1\delta\int_{-\infty}^\infty\left(|G'(x,\sigma)|+\kappa|G(x,\sigma)|\right)\,\mathrm dx
\\
&=\frac1\delta\left(2G(0,\sigma)+\kappa\right)
\\
&=\frac1\delta\left(\frac2{\sqrt{2\pi}\sigma}+\kappa\right)\;,
\end{align}
$$
y para $n=2$ con $|\phi'''/\phi'|\le\kappa^2$,
$$
\begin{align}
|I|&\le\int_{-\infty}^\infty\left|\frac{G''}{\phi'^3}-3\frac{G'\phi''}{\phi'^4}+3\frac{G\phi''^2}{\phi'^5}-\frac{G\phi'''}{\phi'^4}\right|\,\mathrm d\phi
\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left|\frac{G''}{\phi'^2}-3\frac{G'\phi''}{\phi'^3}+3\frac{G\phi''^2}{\phi'^4}-\frac{G\phi'''}{\phi'^3}\right|\,\mathrm dx
\\
&\le\frac1{\delta^2}\int_{-\infty}^\infty\left(|G''|+3\kappa |G'|+3\kappa^2|G|+\kappa^2|G|\right)\,\mathrm dx
\\
&\le\frac1{\delta^2}\left(\frac2{\sigma^2}+\frac{6\kappa}{\sqrt{2\pi}\sigma}+4\kappa^2\right)\;.
\end{align}
$$
Podemos seguir así hasta que las vacas vienen casa, que es, hasta que los factores numéricos de los derivados comienzan a abrumar a los factores de $\kappa/\delta$, por lo que si $\kappa\ll\delta$, la integral es para todos los intentos y propósitos de cero. Si $\kappa\sim\delta$, puede que tenga que trabajar un poco más duro para ser mejores límites.
