¿Cómo puedo ver que el producto tensor de la operación para que el vector de paquetes a través de una base fija que el espacio es conmutativa, asociativa y tiene un elemento de identidad?
Respuesta
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Mike Miller
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Supongamos que desde el principio que tengo tres vectores paquetes de $E_1, E_2, E_3$ y un abra la cubierta de la base espacio en el que todos los tres de estos trivializar. Entonces, si la transición de las funciones de $E_i$ son denotados $\phi_{i,U}: U \to GL_n$, entonces el producto tensor $E_1 \otimes E_2$ es el vector paquete dada por la transición de las funciones de $\phi_1 \otimes \phi_2$, donde me refiero a que el tensor de producto de matrices. Que estas satisfacer la cocycle condición se deduce del hecho de que $(A \otimes B)(C\otimes D) = (AC \otimes BD)$. Si este no es tu definición de producto tensor, yo se lo dejo a usted para verificar que está de acuerdo con su definición.
Entonces tu pregunta asciende a...
1) $\phi_1 \otimes \phi_2$ es conjugado a $\phi_2 \otimes \phi_1$ por una matriz de permutación.
2) $(\phi_1 \otimes \phi_2) \otimes \phi_3 = \phi_1 \otimes (\phi_2 \otimes \phi_3)$.
3) $\phi_1 \otimes \bf 1 = \phi_1$, $\bf 1$ me refiero al número 1 como un lineal mapa de $\Bbb R \to \Bbb R$ (aka, el mapa de identidad). De modo que el vector paquete definido por la constante transición de las funciones (que obviamente satisfacer la cocycle condición) es un elemento de identidad para el producto tensor de la operación; este es el trivial de la línea de paquete de $M \times \Bbb R \to M$.
Todos estos hechos son fácilmente seleccionable, ya sea usted mismo o en cualquier álgebra lineal libro que habla sobre el producto tensor.
